Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 245437:

Vận dụng cao

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(T=\left| z+i \right|+\left| z-2-i \right|\)

A. \(\max T=8\sqrt{2}\)

B. \(\max T=8\)

C. \(\max T=4\sqrt{2}\)

D. \(\max T=4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:245437

Phương pháp giải

Đưa biểu thức T về dạng biểu thức vector bằng cách tìm các vector biểu diễn cho các số phức.

Giải chi tiết

Tập hợp các điểm z thỏa mãn điều kiện \(\left| z-1 \right|=\sqrt{2}\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 1;0 \right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\).

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, \(A\left( 0;-1 \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(-i\), \(B\left( 2;1 \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(2+i\). Dễ thấy \(A,B\in \left( C \right)\) và \(AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2}=2R\Rightarrow AB\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\Rightarrow \Delta MAB\) vuông tại M \(\Rightarrow M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}=8\Rightarrow MB=\sqrt{8-M{{A}^{2}}}\)

Ta có: \(T=\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} \right|+\left| \overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OB} \right|=MA+MB=MA+\sqrt{8-M{{A}^{2}}}\)

Đặt \(MA=x\,\,\left( 0\le x\le 2\sqrt{2} \right)\), xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\sqrt{8-{{x}^{2}}}\) trên \(\left[ 0;2\sqrt{2} \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\frac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow \sqrt{8-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow 8-{{x}^{2}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow x=2\)

\(\begin{align} & f\left( 0 \right)=\sqrt{2},\,\,f\left( 2\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2};\,\,f\left( 2 \right)=4 \\ & \Rightarrow \underset{\left[ 0;2\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)=4 \\ \end{align}\)

Vậy \(\max T=4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.