Xét khối chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách
Xét khối chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC), tính \(\cos \alpha \) khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Tính thể tích \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}\) theo \(\cos \alpha \).
Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{align} & BC\bot AM \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right)\)
Trong (SAM) kẻ \(AH\bot SM\Rightarrow AH\bot BC\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH=3\)
Ta có :
\(\left\{ \begin{align} & \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\ & AM\bot BC \\ & SM\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( AM;SM \right)}=\widehat{SMA}=\alpha \)
\(\Rightarrow AM=\frac{AH}{\sin \alpha }=\frac{3}{\sin \alpha }\Rightarrow BC=2AM=\frac{6}{\sin \alpha }\)
\(\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AM.BC=\frac{1}{2}.\frac{3}{\sin \alpha }.\frac{6}{\sin \alpha }=\frac{9}{{{\sin }^{2}}\alpha }\)
Trong tam giác vuông SAM có: \(SM=\frac{AM}{\cos \alpha }=\frac{3}{\sin \alpha \cos \alpha }\)
\(\begin{align} & \Rightarrow SA=\sqrt{S{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{\frac{9}{{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha }-\frac{9}{{{\sin }^{2}}\alpha }}=\frac{3\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }}{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{3}{\cos \alpha } \\ & \Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}\frac{3}{\cos \alpha }.\frac{9}{{{\sin }^{2}}\alpha }=\frac{9}{\left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha \right)\cos \alpha } \\ \end{align}\)
Đặt \(t=\cos \alpha \,\,\left( 0<t<1 \right)\Rightarrow f\left( t \right)=\frac{9}{\left( 1-{{t}^{2}} \right)t}\)
\(\begin{align} & f\left( \frac{1}{3} \right)=\frac{243}{8};\,\,f\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=\frac{27\sqrt{3}}{2};\,\,f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=18\sqrt{2};\,\,f\left( \frac{2}{3} \right)=\frac{243}{10} \\ & \Rightarrow \underset{x\in \left( 0;1 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \\ \end{align}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
