Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + m\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)?\)

Câu 246658: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + m\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)?\)

A. \(m \ge 0\)

B. \(m > 0\)

C. \(m < 0\)

D. \(m \le 0\)

Câu hỏi : 246658

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tính y’, để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right) \ge m \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right)\)

Đáp án : A
(12) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge - 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Leftrightarrow f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}} \ge - 2m\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Rightarrow - 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) \cr} \)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}}\) trên \(\left( {0;3} \right)\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = {{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x - 1} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + 2x - 3} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \in \left( {0;3} \right) \hfill \cr x = - 3 \notin \left( {0;3} \right) \hfill \cr} \right. \cr & f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 0;\,\,f\left( 3 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = 0 \cr & \Rightarrow - 2m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0 \cr} \)

Khi \(m = 0\) ta có \(y' = {x^2} - 2x + 1 = 0\, \Leftrightarrow y'= (x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow\) hàm số đồng biến.

Vậy để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right)\) thì \(m \ge 0\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.