Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left(

Câu hỏi số 246658:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = {1 \over 3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + m\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)?\)

A. \(m \ge 0\)

B. \(m > 0\)

C. \(m < 0\)

D. \(m \le 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246658

Phương pháp giải

Tính y’, để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right) \ge m \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m + 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \ge - 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Leftrightarrow f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}} \ge - 2m\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \cr & \Rightarrow - 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) \cr} \)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 2x + 1} \over {x + 1}}\) trên \(\left( {0;3} \right)\) ta có:

\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = {{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x - 1} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} + 2x - 3} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \in \left( {0;3} \right) \hfill \cr x = - 3 \notin \left( {0;3} \right) \hfill \cr} \right. \cr & f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 0;\,\,f\left( 3 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;3} \right)} f\left( x \right) = 0 \cr & \Rightarrow - 2m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0 \cr} \)

Khi \(m = 0\) ta có \(y' = {x^2} - 2x + 1 = 0\, \Leftrightarrow y'= (x-1)^2 \geq 0 \Rightarrow\) hàm số đồng biến.

Vậy để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;3} \right)\) thì \(m \ge 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.