Cho \(x,\,y > 0,\,\,x + y = 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {1 \over x} + {4 \over y}\)

Câu hỏi số 246921:

Vận dụng

Cho \(x,\,y > 0,\,\,x + y = 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {1 \over x} + {4 \over y}\) là:

A. 3

B. 6

C. 9

D. 8

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246921

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức: \({{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y} \ge {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}},\,\,\forall \,a,b,x,y > 0\) (*)

Chứng minh:

\({(a + b)^2} = {\left( {{a \over {\sqrt x }}.\sqrt x + {b \over {\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2}\mathop \le \limits^{Bunhiacopski} \left( {{{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y}} \right)(x + y) \Rightarrow {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}} \le {{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y}\)

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a \over x} = {b \over y}\).

(Bất đẳng thức Bunhiacopski: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)², mọi số a,b,c,d. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a \over c} = {b \over d}\))

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \({{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y} \ge {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}},\,\,\forall \,a,b,x,y > 0\), ta có: \(P = {1 \over x} + {4 \over y} = {{{1^2}} \over x} + {{{2^2}} \over y} \ge {{{{(1 + 2)}^2}} \over {x + y}} = {9 \over 3} = 3\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 3\) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ {1 \over x} = {2 \over y} \hfill \cr x + y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10