Cho \(x,\,y > 0,\,\,x + y = 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {1 \over x} + {4 \over y}\)

Câu hỏi số 246921:

Vận dụng

Cho \(x,\,y > 0,\,\,x + y = 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {1 \over x} + {4 \over y}\) là:

A. 3

B. 6

C. 9

D. 8

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246921

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức: \({{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y} \ge {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}},\,\,\forall \,a,b,x,y > 0\) (*)

Chứng minh:

\({(a + b)^2} = {\left( {{a \over {\sqrt x }}.\sqrt x + {b \over {\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2}\mathop \le \limits^{Bunhiacopski} \left( {{{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y}} \right)(x + y) \Rightarrow {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}} \le {{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y}\)

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a \over x} = {b \over y}\).

(Bất đẳng thức Bunhiacopski: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)², mọi số a,b,c,d. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a \over c} = {b \over d}\))

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \({{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y} \ge {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}},\,\,\forall \,a,b,x,y > 0\), ta có: \(P = {1 \over x} + {4 \over y} = {{{1^2}} \over x} + {{{2^2}} \over y} \ge {{{{(1 + 2)}^2}} \over {x + y}} = {9 \over 3} = 3\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 3\) khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{ {1 \over x} = {2 \over y} \hfill \cr x + y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 \hfill \cr y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.