Cho hình chóp \(S.ABC\), trong đó \(SA=3,SB=4,\,\,SC=5,\,\,\widehat{ASB}={{60}^{0}},\,\,\widehat{BSC}={{120}^{0}}\)

Câu hỏi số 247204:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\), trong đó \(SA=3,SB=4,\,\,SC=5,\,\,\widehat{ASB}={{60}^{0}},\,\,\widehat{BSC}={{120}^{0}}\) và \(\widehat{CSA}={{90}^{0}}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) là

A. \(2.\)

B. \(2\sqrt{2}.\)

C. \(4\sqrt{2}.\)

D. \(\sqrt{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247204

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa Oxyz và sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải chi tiết

Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác \(SAB,\) có \(AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2.SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=\sqrt{13}.\)

Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác \(SBC,\) có \(BC=\sqrt{S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-2.SB.SC.\cos \widehat{BSC}}=\sqrt{61}.\)

Gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, với \(S\left( 0;0;0 \right),\,\,A\left( 3;0;0 \right),\,\,B\left( a;b;c \right),\,\,C\left( 0;5;0 \right).\)

Có \(\left\{ \begin{array}{l}S{B^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 16\\A{B^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = 13\\B{C^2} = {a^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {c^2} = 61\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - \,2\\c = 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - \,2;2\sqrt 2 } \right).\)

Đường thẳng \(SC\) đi qua \(S\left( 0;0;0 \right)\) và \({{\vec{u}}_{1}}=\overrightarrow{SC}=\left( 0;5;0 \right).\)

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( 3;0;0 \right)\) và \({{\vec{u}}_{2}}=\overrightarrow{AB}=\left( -\,1;-\,2;2\sqrt{2} \right).\)

Có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\\2&{2\sqrt 2 }\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\{2\sqrt 2 }&{ - 1}\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&5\\{ - 1}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {10\sqrt 2 ;\;0;\;5} \right).\)

Khi đó \(d\left( SC;AB \right)=\frac{\left| \overrightarrow{SA}.\left( {{{\vec{u}}}_{1}};{{{\vec{u}}}_{2}} \right) \right|}{\left| \left( {{{\vec{u}}}_{1}};{{{\vec{u}}}_{2}} \right) \right|}=\frac{30\sqrt{2}}{15}=2\sqrt{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.