Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=a,\,AD=2a,\ SA=2a\) và \(SA\bot (ABCD)\).

Câu hỏi số 247734:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=a,\,AD=2a,\ SA=2a\) và \(SA\bot (ABCD)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 đường thẳng SC và BD. Khi đó, \(\cos \alpha \) bằng

A. \(-\frac{\sqrt{5}}{5}\).

B. 0.

C. \(\frac{\sqrt{5}}{5}\).

D. \(\frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247734

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai đường thẳng:

Cho a, b là hai đường thẳng bất kì, đường thẳng a’// a \(\Rightarrow \left( \widehat{a,b} \right)=\left( \widehat{a',b} \right)\)

Giải chi tiết

Gọi O, M lần lượt là tâm của hình chữ nhật ABCD và trung điểm của SA

\(\Rightarrow MO\) là đường trung bình của tam giác SAC

\(\begin{align} & \Rightarrow MO//SC \\& \Rightarrow (\widehat{BD,SC})=\left( \widehat{BD,MO} \right) \\\end{align}\)

+) ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow AC=BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}=a\sqrt{5}\).

\(\Rightarrow OA=OB=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\).

+) M là trung điểm SA \(\Rightarrow MA=\frac{SA}{2}=\frac{2a}{2}=a\)

Tam giác MAB vuông tại A \(\Rightarrow MB=\sqrt{M{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Tam giác MAO vuông tại A \(\Rightarrow MO=\sqrt{M{{A}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3a}{2}\)

+) Xét tam giác MBO: \(\cos \widehat{MOB}=\frac{M{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}-M{{B}^{2}}}{2.MO.OB}=\frac{{{\left( \frac{3a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}{2.\frac{3a}{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}>0\Rightarrow \widehat{MOB}<{{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow \widehat{MOB}=\left( \widehat{MO;BD} \right)\Rightarrow \cos \left( \widehat{SC;BD} \right)=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.