Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân có AB = CD = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt

Câu hỏi số 247738:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân có AB = CD = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD.

A. \(\frac{16\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}\).

B. \(\frac{16\pi {{a}^{3}}}{3}\).

C. \(\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\)

D. \(\frac{32\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247738

Phương pháp giải

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp

- Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

- Vẽ đường thẳng (d) qua O và vuông góc đáy.

- Vẽ mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì cắt (d) tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm và bán kính R = IA = IB = IC =…

Giải chi tiết

ABCD là hình thang cân \(\Rightarrow ABCD\) là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD trùng với đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD.

Gọi I là trung điểm AD. Do AB = CD = BC = a, AD = 2a, ta dễ dàng chứng minh được I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD \(\Rightarrow \) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD, SA.

\(\Rightarrow MI,\,MN\) là các đường trung bình của tam giác SAD

\(\Rightarrow MI//SA,\,\,MN//AD\)

Mà \(SA\bot (ABCD)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & MI\bot (ABCD) \\ & MN\bot SA \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow MB=MC=MD=MA,\,\,\,\,\,MN\) là trung trực của SA

\(\Rightarrow MB=MC=MD=MS\,\,\,(=MA)\)

\(\Rightarrow M\)là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD.

Bán kính \(R=MS=\frac{SD}{2}=\frac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{{{(2a)}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}}{2}=a\sqrt{2}\)

Thể tích mặt cầu: \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{3}}=\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.