Cho hàm số \(f(x)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và là hàm số chẵn, biết

Câu hỏi số 247741:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và là hàm số chẵn, biết \(\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=1\). Tính \(\int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx}\).

A. 1

B. 2

C. 4

D. \(\frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247741

Phương pháp giải

Đặt \(t=-x\)

Giải chi tiết

\(I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=1\) (1)

Đặt \(t=-x\Rightarrow dt=-dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=-1\Rightarrow t=1 \\ & x=1\Rightarrow t=-1 \\\end{align} \right.\). Khi đó:

\(I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=-\int\limits_{1}^{-1}{\frac{f(-t)}{1+{{e}^{-t}}}dt}=-\int\limits_{1}^{-1}{\frac{f(t)}{\frac{1+{{e}^{t}}}{{{e}^{t}}}}dt}\) ( do \(f(x)\) là hàm chẵn) \(=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{t}}f(t)}{1+{{e}^{t}}}dt}=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{x}}f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}\)

\(\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{x}}f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=1\) (2)

Từ (1), (2), suy ra: \(\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}+\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{e}^{x}}f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=2\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\frac{({{e}^{x}}+1)f(x)}{1+{{e}^{x}}}dx}=2\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f(x)dx=2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.