Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(3;-2;6),\,\,B(0;1;0)\)và mặt cầu

Câu hỏi số 247832:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(3;-2;6),\,\,B(0;1;0)\)và mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25\). Mặt phẳng \((P):a\,x+by+cz-2=0\) đi qua \(A,B\)và cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T=a+b+c\).

A. \(T=5\).

B. \(T=3\).

C. \(T=2\).

D. \(T=4\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247832

Phương pháp giải

- Đưa phương trình mặt phẳng (P) về dạng chỉ còn 1 tham số.

- (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất \(\Leftrightarrow d(I;(P))\) max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S).

Giải chi tiết

\(A(3; - 2;6),\,\,B(0;1;0) \in (P):a\,x + by + cz - 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a\, - 2b + 6c - 2 = 0\\
b - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2\\
a = 2 - 2c
\end{array} \right.\)

\((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25\)có tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R=5.\)

(P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất \(\Leftrightarrow d(I;(P))\) max, trong đó: I là tâm mặt cầu (S).

Ta có: \(d(I,(P))=\frac{\left| (2-2c).1+2.2+c.3-2 \right|}{\sqrt{{{(2-2c)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| c+4 \right|}{\sqrt{5{{c}^{2}}-8c+8}}=\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\)

Ta tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}\). Gọi m là giá trị của \(\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}\) với c nào đó. Ta có:

\(m=\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}\Leftrightarrow {{c}^{2}}+8c+16=m\left( 5{{c}^{2}}-8c+8 \right)\Leftrightarrow {{c}^{2}}(1-5m)+8(1+m)c+16-8m=0\,\,(*)\)

\(\Delta '={{\left( 4+4m \right)}^{2}}-(1-5m)(16-8m)=16+32m+16{{m}^{2}}-16+8m+80m-40{{m}^{2}}=-24{{m}^{2}}+120m\)

(*) có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta '\ge 0\Leftrightarrow 0\le m\le 5\).

\(\Rightarrow 0\le \frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}\le 5\Rightarrow \left( \sqrt{\frac{{{c}^{2}}+8c+16}{5{{c}^{2}}-8c+8}} \right)\max =\sqrt{5}\) khi và chỉ khi \(c=\frac{-4(1+m)}{1-5m}=\frac{-4(1+5)}{1-5.5}=1\)

Khi đó, \(T=a+b+c=2-2c+2+c=4-c=4-1=3\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.