Xét hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\,1 \right]\) và thỏa mãn \(2f\left( x

Câu hỏi số 251845:

Vận dụng

Xét hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\,1 \right]\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}.\) Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}.\)

A. \(\frac{\pi }{4}.\)

B. \(\frac{\pi }{6}.\)

C. \(\frac{\pi }{20}.\)

D. \(\frac{\pi }{16}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251845

Phương pháp giải

Rút hàm số \(f\left( x \right)\) từ giả thiết, sau đó thay vào tính tích phân I. Có thể sử dụng MTCT cho bài toán này.

Giải chi tiết

Ta có \(2I=\int\limits_{0}^{1}{2f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}}-3f\left( 1-x \right) \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}-3\,\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)\,\text{d}x}.\)

Mà \(\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}=\frac{\pi }{4}\) (casio)

Đặt \(t=1-x\Leftrightarrow dt=-dx,\,\,\left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=1 \\ & x=1\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)\text{d}x}=-\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\)

\(\Rightarrow 2I=\frac{\pi }{4}-3I\Leftrightarrow I=\frac{\pi }{20}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.