Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi

Câu hỏi số 254592:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)\text{d}x=3}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x=1.}\) Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x.}\)

\(I=2.\)

\(I=6.\)

\(I=3.\)

D. \(I=4.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254592

Phương pháp giải

\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=3\), đặt \(t=\tan x\)

Cộng hai tích phân vừa tìm được và \({{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=1\) với nhau và rút ra I.

Giải chi tiết

\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=3\)

Đặt \(t=\tan x\Leftrightarrow dt=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\left( {{t}^{2}}+1 \right)dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{{{t}^{2}}+1}\), đổi cận \(\left\{ \begin{align} x=0\Rightarrow t=0 \\ x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( t \right)dt}{{{t}^{2}}+1}}=3=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=3\)

\(\begin{align} {{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=1\Rightarrow {{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=3+1=4 \\ \Rightarrow I=4 \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.