Tổng tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho đồ thị hàm

Câu hỏi số 258503:

Vận dụng

Tổng tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) sao cho đồ thị hàm số\(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+4{{m}^{3}}\) có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là

A. \(\frac{\sqrt{2}}{2}.\)

B. \(\frac{1}{2}.\)

C. \(0.\)

D. \(\frac{1}{4}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258503

Phương pháp giải

Tính đạo hàm, giải phương trình để tìm tọa độ hai điểm cực trị, tìm tọa độ trung điểm của hai điểm cực trị và cho điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Giải chi tiết

Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2m \\ \end{align} \right.\).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi \(m\ne 0\).

Khi đó, gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( 0;4{{m}^{3}} \right);\,\,B\left( 2m;0 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( 2m;\ -4{{m}^{3}} \right).\)

Phương trình đường phân giác của góc phần tư thứ nhất \(d:y=x\Leftrightarrow x-y=0.\) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn\(AB\Rightarrow \,\,I\left( m;2{{m}^{3}} \right)\).

Yêu cầu bài toán \(\left\{ \begin{array}{l}
I \in \left( d \right)\\
AB \bot \left( d \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m - 2{m^3} = 0\\
2m - 4{m^3} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m\left( {1 - 2{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\;\left( {tm} \right)\\
m = 0\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..\)

Do đó tổng các giá trị \(m\) thỏa mãn là \(0\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.