Cho hình lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \({A}'.ABC\) là tứ diện đều cạnh \(a\). Gọi \(M,\,N\)

Câu hỏi số 258511:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \({A}'.ABC\) là tứ diện đều cạnh \(a\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(A{A}'\) và \(B{B}'\). Tính \(\tan \) của góc hợp bởi hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( CMN \right)\).

A. \(\frac{\sqrt{2}}{5}.\)

B. \(\frac{5\sqrt{2}}{4}.\)

C. \(\frac{2\sqrt{2}}{5}.\)

D. \(\frac{4\sqrt{2}}{15}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258511

Phương pháp giải

Dựng hình, sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng hoặc áp dụng phương pháp tọa độ hóa (hình giải tích Oxyz) để tính góc

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{align} & \left( ABC \right)\cap \left( CMN \right)=\left\{ C \right\} \\ & AB//MN \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( ABC \right)\cap \left( CMN \right)=\Delta \) (\(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(C\) và // với \(AB\)).

Gọi \(E,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(MN\).

Gọi \(F\) là trung điểm của \(MI\).

Suy ra \(\left\{ \begin{align} & EC\bot AB \\ & FC\bot MN \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left( \widehat{\left( ABC \right),\,\left( MNC \right)} \right)=\widehat{ECF}\)

Ta có \(MF=\frac{1}{4}MN=\frac{a}{4},\) \(MC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow CF=\sqrt{M{{C}^{2}}-M{{F}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}\)

Xét \(\Delta EBC\) vuông tại \(E,\) có \(EC=\sqrt{B{{C}^{2}}-B{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(EF=\frac{1}{2}E{A}'=\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

Áp dụng định lý \(\operatorname{cosin}\) cho tam giác \(ECF,\) \(\cos \widehat{ECF}=\frac{E{{C}^{2}}+F{{C}^{2}}-E{{F}^{2}}}{2EC.FC}=\frac{5\sqrt{33}}{33}\)

Vậy \(\tan \widehat{ECF}=\sqrt{\frac{1}{{{\cos }^{2}}\widehat{ECF}}-1}=\frac{2\sqrt{2}}{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.