Biết rằng bất phương trình \(m\left( \left| x \right|+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+1 \right)\le

Câu hỏi số 258727:

Vận dụng cao

Biết rằng bất phương trình \(m\left( \left| x \right|+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+1 \right)\le 2\sqrt{{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}+\sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}+2\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m\in \left( -\infty ;\,a\sqrt{2}+b \right]\), với \(a\), \(b\in Z\). Tính giá trị của \(T=a+b\).

A. \(T=3\).

B. \(T=2\)

C. \(T=0\).

D. \(T=1\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258727

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình ẩn t, cô lập tham số m để biện luận nghiệm phương trình

Giải chi tiết

Điều kiện \(-1\le x\le 1\). Xét hàm số \(g\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) trên đoạn \(\left[ -1;\,1 \right]\).

Ta có : \({g}'\left( x \right)=x\left( \frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)\), \({g}'\left( x \right)=0\) \(\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}}\)\(\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Tính \(g\left( \pm 1 \right)=1\), \(g\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2}\).Suy ra \(1\le g\left( x \right)\le \sqrt{2}\).

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+2\sqrt{{{x}^{2}}-{{x}^{4}}}\), \(1\le t\le \sqrt{2}\). Bất phương trình trở thành :

\(m\left( t+1 \right)\le {{t}^{2}}+t+1\) \(\Leftrightarrow m\le t+\frac{1}{t+1}\) (Do \(1\le t\le \sqrt{2}\) nên \(t+1>0\)).

Xét hàm số \(f\left( t \right)=t+\frac{1}{t+1}\) trên đoạn \(\left[ 1;\,\sqrt{2} \right]\). Có \({f}'\left( t \right)=1-\frac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\), \({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0\notin \left[ 1;\,\sqrt{2} \right] \\ & t=-2\notin \left[ 1;\,\sqrt{2} \right] \\ \end{align} \right.\).

Tính \(f\left( 1 \right)=\frac{3}{2}\), \(f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}-1\). Do đó, \(\underset{\left[ 1;\,\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}-1\).

Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi \(m\le \underset{\left[ 1;\,\sqrt{2} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)\) hay \(m\le 2\sqrt{2}-1\).

Do đó \(a=2\), \(b=-1\). Vậy \(T=1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.