Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) và

Câu hỏi số 258848:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\) và \(f\left( \frac{\pi }{4} \right)=0\).

Biết \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}=\frac{\pi }{8}\), \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{f}'\left( x \right)\text{sin 2}x\text{d}x}=-\frac{\pi }{4}\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{8}}{f\left( 2x \right)\text{d}x}\)

A. \(I=1\).

B. \(I=\frac{1}{2}\).

C. \(I=2\)

D. \(I=\frac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258848

Phương pháp giải

Áp dụng kĩ thuật tổng bình phương để tìm hàm số \(y=f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin 2x = u\\
f'\left( x \right){\rm{d}}x = {\rm{d}}v
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\cos 2x{\rm{d}}x = {\rm{d}}u\\
f\left( x \right) = v
\end{array} \right.\)

khi đó \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{f}'\left( x \right)\text{sin 2}x\text{d}x}=\left. \text{sin 2}x.f\left( x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}-2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{cos2}x\text{d}x}\)

\(=\text{sin }\frac{\pi }{2}.f\left( \frac{\pi }{4} \right)-\sin 0.f\left( 0 \right)-2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{cos2}x\text{d}x}\)\(=-\,2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{cos2}x\text{d}x}\).

Theo đề bài ta có \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{f}'\left( x \right)\text{sin 2}x\text{d}x}=-\frac{\pi }{4}\)\(\Rightarrow \)\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( x \right)\text{cos2}x\text{d}x}=\frac{\pi }{8}\). Mặt khác \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}2x\text{d}x}=\frac{\pi }{8}\).

Do \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\left( f\left( x \right)-\text{cos2}x \right)}^{2}}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-\text{2}f\left( x \right)\text{.cos2}x+{{\cos }^{2}}2x \right)\text{d}x}\) \(=\left( \frac{\pi }{8}-2\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{8} \right)=0\) nên \(f\left( x \right)=\cos 2x\).

Ta có \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{8}}{\cos 4x\text{d}x}=\left. \frac{1}{4}\sin 4x \right|_{0}^{\frac{\pi }{8}}=\frac{1}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.