Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78\). Tìm hệ số của \({{x}^{5}}\) trong

Câu hỏi số 259996:

Thông hiểu

Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78\). Tìm hệ số của \({{x}^{5}}\) trong khai triển \({{\left( 2x-1 \right)}^{n}}\).

A. \(25344\)

B. \(101376\).

C. \(-\,101376\).

D. \(-\,25344\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259996

Phương pháp giải

Giải phương trình tổ hợp tìm n, áp dụng công thức tổng quát khai triển nhị thức Newtơn tìm hệ số của \({{x}^{k}}\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & n\in \mathbb{N} \\ & n\ge 2 \\ \end{align} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow n + \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)n = 78\\
\Leftrightarrow {n^2} + n - 156 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 12\;\;\left( {tm} \right)\\
n = - 13\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Suy ra \({{\left( 2x-1 \right)}^{n}}={{\left( 2x-1 \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( 2x \right)}^{12-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( 2 \right)}^{12-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{12-k}}}\).

Hệ số \({{x}^{5}}\) ứng với \(12-k=5\Leftrightarrow k=7\).

Vậy: Hệ số \({{x}^{5}}\) là \(C_{12}^{7}{{2}^{5}}{{\left( -1 \right)}^{7}}=-\,25344.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.