Biết \(\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x + {{\rm{e}}^x}}}{{\sqrt x {{\rm{e}}^{2x}}}}}

Câu hỏi số 260335:

Thông hiểu

Biết \(\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x + {{\rm{e}}^x}}}{{\sqrt x {{\rm{e}}^{2x}}}}} {\rm{d}}x} = a + {{\rm{e}}^b} - {{\rm{e}}^c}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên. Tính \(T=a+b+c\)

\(T = - 3\).

B. \(T = 3\).

C. \(T = - 4\).

D. \(T=-5\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260335

Phương pháp giải

thấy biểu thức dưới dấu căn là hẳng đẳng thức, khai căn và đưa về tích phân cơ bản

Giải chi tiết

Ta có \(\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+{{\text{e}}^{x}}}{\sqrt{x}{{\text{e}}^{2x}}}={{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)}^{2}}+2.\frac{1}{2\sqrt{x}}.\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}}+{{\left( \frac{1}{{{\text{e}}^{x}}} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}} \right)}^{2}}\)

Suy ra \(\int\limits_{1}^{4}{\sqrt{\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+{{\text{e}}^{x}}}{\sqrt{x}{{\text{e}}^{2x}}}}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{{{\text{e}}^{x}}} \right)\text{d}x}=\left. \left( \sqrt{x}-{{\text{e}}^{-x}} \right) \right|_{1}^{4}=1+{{\text{e}}^{-1}}-{{\text{e}}^{-4}}.\)

Vậy \(a = 1,\;b = - 1,\;c = - 4.\) Suy ra \(T=1-1-4=-4.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.