Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 9 = 0\) và ba điểm

Câu hỏi số 261091:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 9 = 0\) và ba điểm \(A(2;1;0),\,B(0;2;1)\), \(C(1;3; - 1)\). Điểm \(M \in \left( \alpha \right)\) sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \({x_M} + {y_M} + {z_M} = 3\).

B. \({x_M} + {y_M} + {z_M} = 4\).

C. \({x_M} + {y_M} + {z_M} = 2\).

D. \({x_M} + {y_M} + {z_M} = 1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261091

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định điểm \(I\) thỏa mãn : \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)

Bước 2: Biến đổi \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\)

Bước 3: Đánh giá và tìm vị trí của M để MI ngắn nhất (M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)).

Giải chi tiết

+) Xác định điểm \(I(a;b;c)\) sao cho: \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \):

Ta có:\(\overrightarrow {IA} = \left( {2 - a;1 - b; - c} \right),\,\,\overrightarrow {IB} = \left( { - a;2 - b;1 - c} \right),\,\,\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - a} \right) + 3\left( { - a} \right) - 4\left( {1 - a} \right) = 0\\2\left( {1 - b} \right) + 3\left( {2 - b} \right) - 4\left( {3 - b} \right) = 0\\2\left( { - c} \right) + 3\left( {1 - c} \right) - 4\left( { - 1 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 4\\c = 7\end{array} \right. \Rightarrow I(0; - 4;7)\)

Khi đó: \(\left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {MI} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {MI} - 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \underbrace {\left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - 4\overrightarrow {IC} } \right)}_{\overrightarrow 0 }} \right| = MI\), \( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} - 4\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt GTNN khi và chỉ khi MI ngắn nhất

\( \Leftrightarrow \)M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

+) Xác đinh tọa độ điểm \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(I(0; - 4;7)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + y - 2z + 9 = 0\).

Đường thẳng IH nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} \left( {2;1; - 2} \right)\) là VTCP, phương trình đường thẳng IH: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 4 + t\\z = 7 - 2t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}H \in IH \Rightarrow H\left( {2t; - 4 + t;7 - 2t} \right)\\H \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2\left( {2t} \right) + \left( { - 4 + t} \right) - 2\left( {7 - 2t} \right) + 9 = 0 \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2; - 3;5} \right)\end{array}\)

Vậy, điểm M cần tìm có tọa độ \(M\left( {2; - 3;5} \right) \Rightarrow {x_M} + {y_M} + {z_M} = 4\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.