Xét hàm số \(f(x)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn điều kiện \(4x.f({x^2})

Câu hỏi số 261105:

Vận dụng cao

Xét hàm số \(f(x)\)liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn điều kiện \(4x.f({x^2}) + 3f(1 - x) = \sqrt {1 - {x^2}} \). Tích phân \(I = \int_0^1 {f(x)dx} \)bằng

A. \(I = \frac{\pi }{6}\).

B. \(I = \frac{\pi }{{16}}\).

C. \(I = \frac{\pi }{4}\).

D. \(I = \frac{\pi }{{20}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261105

Phương pháp giải

Tích phân 2 vế của phương trình đã cho.

Giải chi tiết

Tích phân hai vế của phương trình: \(4x.f({x^2}) + 3f(1 - x) = \sqrt {1 - {x^2}} \), ta được:

\(4\int\limits_0^1 {x.f({x^2})dx} + 3\int\limits_0^1 {f(1 - x)dx} = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) (1)

Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\).

\(\int\limits_0^1 {x.f({x^2})dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f({x^2})d{x^2}} = \frac{1}{2}\left( {F({1^2}) - F({0^2})} \right) = \frac{1}{2}\left( {F(1) - F(0)} \right)\)

\(\int\limits_0^1 {f(1 - x)dx} = - \int\limits_0^1 {f(1 - x)d\left( {1 - x} \right)} = - \left( {F(1 - 1) - F(1 - 0)} \right) = - \left( {F(0) - F(1)} \right)\)

\(\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \) là \(\frac{1}{4}\) diện tích hình tròn tâm O(0;0) bán kính 1 (phương trình: \({x^2} + {y^2} \le 1\)) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = \frac{1}{4}.\pi .{R^2} = \frac{1}{4}\pi {.1^2} = \frac{\pi }{4}\)

Khi đó, \((1) \Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}.(F(1) - F(0)) - 3(F(0) - F(1)) = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow 5(F(1) - F(0)) = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow F(1) - F(0) = \frac{\pi }{{20}}\)

\(I = \int_0^1 {f(x)dx} = F(1) - F(0) = \frac{\pi }{{20}}\) .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.