a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}.\) Tính giá trị

Câu hỏi số 261859:

Vận dụng

a) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}.\) Tính giá trị của biểu thức: \(P = \frac{{4a + 6b + 2017c}}{{4a - 6b + 2017c}}.\)

b) Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2y = xy + 4\\{x^2} - x + 3 - x\sqrt {6 - x} = \left( {y - 3} \right)\sqrt {y - 3} \end{array} \right.\left( {x,\;y \in R} \right).\)

A. a) \(P=\frac{{2017}}{{2015}}\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {1;\;4} \right).\)

B. a) \(P=\frac{{2023}}{{2015}}\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;4} \right).\)

C. a) \(P=\frac{{2027}}{{2015}}\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;4} \right).\)

D. a) \(P=\frac{{2027}}{{2015}}\)

b) \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;3} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261859

Phương pháp giải

+) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

+) Đặt điều kiện và giải hệ phương trình.

Giải chi tiết

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1 \Rightarrow a = b = c\\ \Rightarrow P = \frac{{4a + 6a + 2017a}}{{4a - 6a + 2017a}} = \frac{{2027}}{{2015}}.\end{array}\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2y = xy + 4\\{x^2} - x + 3 - x\sqrt {6 - x} = \left( {y - 3} \right)\sqrt {y - 3} \end{array} \right.\left( {x,\;y \in R} \right).\)

Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\y \ge 3\end{array} \right..\)

Phương trình đầu tiên tương đương với:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 4 - y(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - y\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)(x + 2 - y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = x + 2\end{array} \right..\end{array}\)

TH1: Với \(x = 2.\) Thay vào phương trình còn lại ta được:

\(\begin{array}{l}4 - 2 + 3 - 2\sqrt {6 - 2} = \left( {y - 3} \right)\sqrt {y - 3} \\ \Leftrightarrow 1 = {\left( {\sqrt {y - 3} } \right)^3}\\ \Leftrightarrow 1 = y - 3\\ \Leftrightarrow y = 4\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

TH2: Với \(y = x + 2.\) Thay vào phương trình còn lại ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - x + 3 - x\sqrt {6 - x} = (x + 2 - 3)\sqrt {x + 2 - 3} \\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = \left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} + x\sqrt {6 - x} \end{array}\)

Áp dụng phương pháp đánh giá và bất đẳng thức Cô-si quen thuộc ta có

\(VP = (x - 1)\sqrt {x - 1} + x\sqrt {6 - x} \le \frac{{{{(x - 1)}^2} + x - 1}}{2} + \frac{{{x^2} + 6 - x}}{2} = {x^2} - x + 3 = VT\)

Từ đây dấu bằng phải xảy ra tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = \sqrt {x - 1} \\x = \sqrt {6 - x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) = 0\\x \ge 0\\{x^2} = 6 - x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\\sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.\\x \ge 0\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x - 1 = 1\end{array} \right.\\x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x \ge 0\\x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2\;\;\left( {tm} \right)\;\; \Rightarrow y = x + 2 = 2 + 2 = 4\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {2;\;4} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link