a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa

Câu hỏi số 261860:

Vận dụng cao

a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

\(a + b + c \le 3.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(M = \frac{{{a^2} + 6a + 3}}{{{a^2} + a}} + \frac{{{b^2} + 6b + 3}}{{{b^2} + b}} + \frac{{{c^2} + 6c + 3}}{{{c^2} + c}}.\)

b) Cho tam giác vuông có số đo các cạnh là các số tự nhiên có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của số đo cạnh huyền ta được số đo một cạnh góc vuông. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó.

A. a) \(15\)

b) \(12.\)

B. a) \(13\)

b) \(12.\)

C. a) \(15\)

b) \(10.\)

D. a) \(14\)

b) \(11.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261860

Phương pháp giải

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

+) Công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC:\;\;r = \frac{{2S}}{{AB + BC + CA}}.\)

Giải chi tiết

a) Trước hết ta có BĐT quen thuộc sau với \(a,\;b,\;c > 0\) thì :

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}.\)

Thật vậy :

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} \Leftrightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}} = 9.\)

Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)

Áp dụng ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + 6a + 3}}{{{a^2} + a}} = \frac{{({a^2} + a) + 3(a + 1) + 2a}}{{{a^2} + a}} = 1 + \frac{3}{a} + \frac{2}{{a + 1}}\\ \Rightarrow M = 3 + 3\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}} \right)\\ \Rightarrow M \ge 3 + \frac{{27}}{{a + b + c}} + \frac{{18}}{{a + b + c + 3}} \ge 15.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 15, đạt tại chẳng hạn \(a = b = c = 1.\)

b) Giả sử tam giác đã cho là ABC vuông tại A, như vậy ta có :

\(BC = \overline {ab} ;\;AB = \overline {ba} ;\;AC = \overline {cd} \;\;(0 < b < a \le 9;\;1 \le c \le a;\;0 \le d \le 9)\)

Theo định lý Pi-ta-go ta có :

\(\begin{array}{l}{\overline {ab} ^2} = {\overline {cd} ^2} + {\overline {ba} ^2} \Leftrightarrow {\overline {cd} ^2} = {\overline {ab} ^2} - {\overline {ba} ^2}\\ \Rightarrow {\overline {cd} ^2} = 99({a^2} - {b^2}) \Rightarrow {\overline {cd} ^2} \vdots 33 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\overline {cd} ^2} \vdots 3\\{\overline {cd} ^2} \vdots 11\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overline {cd} \in {\rm{\{ }}33;\;66;\;99\} .\end{array}\)

TH1:

\(\overline {cd} = 99 \Rightarrow 99 = \overline {cd} < \overline {ab} \le 99\)

. Mâu thuẫn.

TH2:

\(\overline {cd} = 66 \Rightarrow 99(a - b)(a + b) = {66^2} \Leftrightarrow (a - b)(a + b) = 44.\)

\(a - b,\;\;a + b\)

cùng tính chẵn lẻ và

\(0 < a + b \le 18\)

nên không có a, b thỏa mãn đề bài.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{TH3:\;\;\overline {cd} = 33 \Rightarrow {{33}^2} = 99(a - b)(a + b) \Rightarrow (a - b)(a + b) = 11}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b = 1}\\{a + b = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6\;\;\;\left( {tm} \right)}\\{b = 5\;\;\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right..}\end{array}\)

Ta có:

\(AB = 56;\;AC = 33;\;BC = 65 \Rightarrow r = \frac{{2S}}{{AB + BC + CA}}\)

\( \Leftrightarrow r = \frac{{2.\frac{1}{2}AB.AC}}{{AB + AC + BC}} = \frac{{33.56}}{{33 + 56 + 65}} = 12.\)

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đã cho là 12.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link