Cho đường tròn (O; OA). Trên bán kính OA lấy điểm I sao cho \(OI = \frac{1}{3}OA\). Vẽ dây BC vuông

Câu hỏi số 261867:

Vận dụng

Cho đường tròn (O; OA). Trên bán kính OA lấy điểm I sao cho \(OI = \frac{1}{3}OA\). Vẽ dây BC vuông góc với OA tại điểm I và vẽ đường kính BD. Gọi E là giao điểm của AD và BC.

a) Chứng minh DA là tia phân giác của \(\widehat {BDC}\).

b) Chứng minh OE vuông góc với AD.

c) Lấy điểm M trên đoạn IB (M khác I và B). Tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm N. Tứ giác MNDE có phải là một tứ giác nội tiếp hay không? Vì sao?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261867

Phương pháp giải

a) Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung và tính chất: số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

b) Chứng minh E là trung điểm của AD bằng cách sử dụng định lí Ta – let.

c) Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {MED}\), từ đó chứng minh tứ giác MNDE là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {OAB} = \widehat {OAC}\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung \( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A có phân giác AI).

Mà \(\widehat {ADB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB};\,\,\widehat {ADC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung) \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC}\).

Vậy AD là tia phân giác của \(\widehat {BDC}\).

b) Ta có \(\widehat {BCD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC \bot CD \Rightarrow CD//OA\).

Xét tam giác \(BCD\) ta có:

\(\frac{{OI}}{{CD}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{1}{2}\,\,\)(định lý Ta-lét)

Mà \(\frac{{OI}}{{IA}} = \frac{1}{2}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow IA = CD \Rightarrow \frac{{IA}}{{CD}} = 1\).

Ta lại có \(\frac{{IA}}{{CD}} = \frac{{EA}}{{ED}}\,\,\left( {Ta - let} \right) \Rightarrow \frac{{EA}}{{ED}} = 1 \Rightarrow EA = ED \Rightarrow E\) là trung điểm của \(AD\).

Tam giác \(OAD\) có \(OA = OD = R \Rightarrow \Delta OAD\) cân tại \(O \Rightarrow \) Trung tuyến OE đồng thời là đường cao \( \Rightarrow OE \bot AD\) (đpcm).

c) \(OE \bot AD\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {OEI} = \widehat {OAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {EOA}\)).

Mà \(\widehat {OAD} = \widehat {ODA}\) (\(\Delta OAD\) cân tại O), \(\widehat {ODA} = \widehat {ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\)).

\( \Rightarrow \widehat {OEI} = \widehat {ACB}\). Lại có \(\widehat {OED} = \widehat {BCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OEI} + \widehat {OED} = \widehat {ACB} + \widehat {BCD} \Rightarrow \widehat {DEI} = \widehat {ACD}\).

Tứ giác ACDN nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {AND} + \widehat {ACD} = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp).

\( \Rightarrow \widehat {AND} + \widehat {DEI} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác MNDE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link