Đặt \(a = {2^{{{\log }_2}\sqrt {{9^{x - 1}} + 7} }},\,\,b = {2^{ - \frac{1}{5}{{\log }_2}\left( {{3^{x - 1}} + 1}

Câu hỏi số 262002:

Vận dụng

Đặt \(a = {2^{{{\log }_2}\sqrt {{9^{x - 1}} + 7} }},\,\,b = {2^{ - \frac{1}{5}{{\log }_2}\left( {{3^{x - 1}} + 1} \right)}}\). Giả sử \(S = {\left( {a + b} \right)^7} = \sum\limits_{i = 0}^7 {C_7^i{a^{7 - i}}{b^i}} \). Tập hợp tất cả các giá trị của x để số hạng thứ 6 trong khai triển bằng 84 là:

\(x = 1,x = 2\)

\(x = 4\)

\(x = 2,x = 4\)

D. \(x = 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262002

Phương pháp giải

Đặt \(t = {3^{x - 1}}\), sử dụng các công thức \({a^{{{\log }_a}f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\) và công thức khai triển nhị thức Newton.

Giải chi tiết

\(a = {2^{{{\log }_2}\sqrt {{9^{x - 1}} + 7} }} = \sqrt {{9^{x - 1}} + 7} ;\,\,\,b = {2^{ - \frac{1}{5}{{\log }_2}\left( {{3^{x - 1}} + 1} \right)}} = {\left( {{3^{x - 1}} + 1} \right)^{\frac{{ - 1}}{5}}}\)

Đặt \(t = {3^{x - 1}}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(a = \sqrt {{t^2} + 7} ;\,\,b = {\left( {t + 1} \right)^{ - \frac{1}{5}}}\)

Khi đó ta có \({\left( {a + b} \right)^7} = \left( {\sqrt {{t^2} + 7} + {{\left( {t + 1} \right)}^{ - \frac{1}{5}}}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^7 {C_7^i{{\left( {\sqrt {{t^2} + 7} } \right)}^{7 - i}}{{\left( {t + 1} \right)}^{ - \frac{i}{5}}}} \)

Khi đó số hạng thứ 6 trong khai triển trên là \(C_7^5{\left( {\sqrt {{t^2} + 7} } \right)^2}{\left( {t + 1} \right)^{ - 1}} = 84\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt {{t^2} + 7} } \right)^2}{\left( {t + 1} \right)^{ - 1}} = 4 \Leftrightarrow \left( {{t^2} + 7} \right) = 4\left( {t + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^{x - 1}} = 1\\{3^{x - 1}} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.