a) Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m - 1)x - 3m = 0\) với m là tham số. Tìm tất cả các giá

Câu hỏi số 262301:

Vận dụng

a) Cho phương trình: \({x^2} + 2(2m - 1)x - 3m = 0\) với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) sao cho biểu thức \(Q = \frac{{2({x_1}^2 + {x_2}^2)}}{{{x_1} + {x_2}}}\) đạt giá trị nguyên.

b) Cho phương trình \({\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\;\;(a \ne 0)\) và \(a,\;b,\;c\) là các số thực thỏa mãn điều kiện: \(2a + b + c = 0\). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt và tìm các nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}.\) Tìm các nghiệm đó khi biểu thức: \(T = {({x_1} - {x_2})^2} + 2({x_1} + {x_2})\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262301

Giải chi tiết

a) \({x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x - 3m = 0.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3m > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - m + 1 > 0\;\;\forall m.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Áp dụng định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(1 - 2m)\\{x_1}{x_2} = - 3m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{{x_1} + {x_2}}} = \frac{{2{{({x_1} + {x_2})}^2} - 4{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\\ = \frac{{2.4.{{(1 - 2m)}^2} + 12m}}{{2(1 - 2m)}} = \frac{{4(4{m^2} - 4m + 1) + 6m}}{{1 - 2m}}\\ = \frac{{16{m^2} - 10m + 4}}{{1 - 2m}} = \frac{{(1 - 2m).( - 8m) + 1 - 2m + 3}}{{1 - 2m}}\\ = - 8m + 1 + \frac{3}{{1 - 2m}}.\end{array}\)

Để \(Q \in Z \Rightarrow \left( { - 8m + 1 + \frac{3}{{1 - 2m}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\\frac{3}{{1 - 2m}} \in Z\end{array} \right..\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\3\; \vdots \;\left( {1 - 2m} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\\left( {1 - 2m} \right) \in U\left( 3 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in Z\\\left( {1 - 2m} \right) \in \left\{ { \pm 1;\; \pm 3} \right\}\end{array} \right..\;\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2m = 1\\1 - 2m = 3\\1 - 2m = - 1\\1 - 2m = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 1\\m = 1\\m = 2\end{array} \right..\)

Vậy \(m = \left\{ {0;\; - 1;\;\;1;\;2} \right\}.\)

b) \(a{x^2} + bx + c = 0\;\;\left( {a \ne 0} \right).\)

Đề phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì : \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0.\)

Theo đề bài ta có : \(2a + b + c = 0 \Rightarrow b = - \left( {2a + c} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta = {(2a + c)^2} - 4ac = 4{a^2} + {c^2} > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có ngay : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} + 2({x_1} + {x_2}).\\2a + b + c = 0\;\;\left( {a \ne 0} \right) \Rightarrow 2 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} = 0 \Leftrightarrow \frac{c}{a} = - 2 - \frac{b}{a}.\\ \Rightarrow T = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 4.\frac{c}{a} - 2.\frac{b}{a} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} - 4\left( { - 2 - \frac{b}{a}} \right) - 2.\frac{b}{a}\\ = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} + 8 + 2.\frac{b}{a} = {\left( {\frac{b}{a} + 1} \right)^2} + 7 \ge 7.\end{array}\)

\( \Rightarrow Max\;T = 7.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{b}{a} = - 1 \Leftrightarrow a = - b.\) Lại có: \(\frac{c}{a} = - 2 - \frac{b}{a} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = - 2 + 1 = - 1 \Leftrightarrow a = - c.\)

\( \Rightarrow a = - b = - c.\) Khi đó ta có phương trình: \(a{x^2} - ax - a = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: \({x_1} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};\;\;{x_2} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.