Cho điểm \(A\left( {2;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,6x + 3y - 2z + 24 = 0\). \(H\) là

Câu hỏi số 262629:

Vận dụng

Cho điểm \(A\left( {2;5;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,6x + 3y - 2z + 24 = 0\). \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích bằng \(784\pi \) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại \(H\), sao cho điểm \(A\) nằm trong mặt cầu là:

A. \({\left( {x + 16} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 196\)

B. \({\left( {x + 8} \right)^2} + {\left( {y + 8} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 196\)

C. \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196\)

D. \({\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 196\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262629

Phương pháp giải

+) Xác định bán kính mặt cầu.

+) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P), xác định tọa độ điểm \(H = d \cap \left( P \right)\).

+) Tham số hóa tọa độ tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng d.

+) \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại \(H \Rightarrow IH = R = 14\)

+) Dựa vào giả thiết điểm \(A\) nằm trong mặt cầu để loại nghiệm.

Giải chi tiết

Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) ta có \(4\pi {R^2} = 784\pi \Leftrightarrow R = 14\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với \(\left( P \right)\) ta có : \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 5}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).

\(H \in d \Rightarrow H\left( {6t + 2;3t + 5; - 2t + 1} \right)\).

\(H \in \left( P \right) \Rightarrow 6\left( {6t + 2} \right) + 3\left( {3t + 5} \right) - 2\left( { - 2t + 1} \right) + 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( { - 4;2;3} \right)\).

Gọi I là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Dễ thấy \(I \in d \Rightarrow I\left( {6t' + 2;3t' + 5; - 2t' + 1} \right)\)

\(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại \(H \Rightarrow IH = R = 14\)

\( \Rightarrow {\left( {6t' + 6} \right)^2} + {\left( {3t' + 3} \right)^2} + {\left( { - 2t' - 2} \right)^2} = {14^2} \Leftrightarrow {\left( {t' + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 1\\t' = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {8;8; - 1} \right)\\I\left( { - 16; - 4;7} \right)\end{array} \right.\)

Vì A nằm trong mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow IA < R\).

Với \(I\left( {8;8; - 1} \right) \Rightarrow IA = 7 < R;\) với \(I\left( { - 16; - 4;7} \right) \Rightarrow IA = 21 > R\).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.