Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {\left(

Câu hỏi số 262633:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 25\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm A và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn bán kính nhỏ nhất là:

A. \(x - 4y - 5z + 17 = 0\)

B. \(3x - 2y + z - 7 = 0\)

C. \(x - 4y + 5z - 13 = 0\)

D. \(3x + 2y + z - 11 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262633

Phương pháp giải

Chứng minh mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là 1 đường tròn.

\(\left( \alpha \right)\) luôn cắt \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)} \). Để bán kính r nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)\) lớn nhất.

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính \(R = 5\). Do \(IA = \sqrt {17} < R\) nên AB luông cắt \(S\) tại hai điểm phân biệt.

Do đó \(\left( \alpha \right)\) luôn cắt \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)} \). Để bán kính r nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)\) lớn nhất.

Ta có \(d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) \le IA \Rightarrow d{\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)_{\max }} = IA,\) khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow {IA} \) là 1 VTPT. Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 3; - 2; - 1} \right) \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,3\left( {x - 3} \right) + 2y + \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 11 = 0\).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.