Cho hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai đỉnh \({A_1},\,\,{A_2}\). Điểm

Câu hỏi số 262655:

Vận dụng cao

Cho hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai đỉnh \({A_1},\,\,{A_2}\). Điểm M di động trên (H) và có hình chiếu vuông góc xuống Ox là P. Biết \(P{M^2} = k.\overrightarrow {P{A_1}} .\overrightarrow {P{A_2}} \) với mọi vị trí của M trên (H), khi đó \(k = ?\)

A. \(k = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\).

B. \(k = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\).

C. \(k = \frac{1}{a}\).

D. \(k = \frac{1}{b}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262655

Phương pháp giải

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow \) tọa độ điểm P.

Tính các vector \(\overrightarrow {P{A_1}} ;\,\overrightarrow {P{A_2}} \) sau đó thay vào giả thiết \(P{M^2} = k.\overrightarrow {P{A_1}} .\overrightarrow {P{A_2}} \) và tìm k.

Giải chi tiết

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai đỉnh \({A_1}( - a;0),\,\,{A_2}(a;0)\).

Hình chiếu của \(M({x_0};{y_0})\) xuống Ox là \(P({x_0};0)\) , \(\overrightarrow {P{A_1}} = \left( { - a - {x_0};0} \right),\overrightarrow {P{A_2}} = \left( {a - {x_0};0} \right)\)

\(M({x_0};{y_0}) \in (H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(P{M^2} = k.\overrightarrow {P{A_1}} .\overrightarrow {P{A_2}} \Leftrightarrow {y_0}^2 = k.\left( { - a - {x_0}} \right).\left( {a - {x_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0}^2 = k{x_0}^2 - k{a^2} \Leftrightarrow k{x_0}^2 - {y_0}^2 = k{a^2} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{k{a^2}}} = 1\), \(\left( {k \ne 0} \right)\)

Mà \(M({x_0};{y_0})\)là điểm tùy ý trên (H) nên ta có: \(k{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow k = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.