Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD = 2R. Hai đường chéo AC và BD cắt

Câu hỏi số 262857:

Vận dụng cao

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD = 2R. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F.

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat {DBC} = \widehat {DBF}\).

c) Giả sử \(\widehat {EFB} = {60^0}\). Tính theo R diện tích hình giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC?

A. \({R^2}\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

B. \({R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

C. \({3R^2}\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{5}} \right)\)

D. \({3R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262857

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác ABEF có tổng hai góc đối bằng 180⁰

b) Dựa vào tính tích: Hai góc nội tiếp của 1 tứ giác nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau.

c) Tính diện tích hình quạt nhỏ giới hạn bởi cung BC và diện tích tam giác OBC.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {ABD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ABD} + \widehat {AFE} = {180^0}\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Do tứ giác ABEF nội tiếp nên \(\widehat {CAD} = \widehat {DBF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF).

Lại có \(\widehat {DBC} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).

\( \Rightarrow \widehat {DBC} = \widehat {DBF}\;\;\left( { = \widehat {CAD}} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)

c) Do tứ giác ABEF nội tiếp nên \(\widehat {EFB} = \widehat {BAC} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\) (Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung).

Gọi H là trung điểm của BC ta có \(OH \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow OH\)cũng là phân giác của \(\widehat {BOC} \Rightarrow \widehat {BOH} = \widehat {COH} = {60^0}\)

Xét tam giác OHB: \(OH = OB.\cos {60^0} = \frac{R}{2};\,\,BH = OB.\sin {60^0} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = R\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta OBC}} = \frac{1}{2}OH.BC = \frac{1}{2}.\frac{R}{2}.R\sqrt 3 = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4}\) .

Ta có diện tích hình quạt OBC (nhỏ) là \(S = \frac{{\pi {R^2}{{.120}^0}}}{{{{360}^0}}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}\).

Vậy diện tích hình giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC là \(\frac{{\pi {R^2}}}{3} - \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{4} = {R^2}\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link