Biết rằng \(a\) là số thực dương sao cho bất đẳng thức \({{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}\)

Câu hỏi số 263416:

Vận dụng cao

Biết rằng \(a\) là số thực dương sao cho bất đẳng thức \({{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}\) đúng với mọi số thực \(x.\) Lệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(a\in (10;\,\,12\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.\)

B. \(a\in (16;\,\,18\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.\)

C. \(a\in (14;\,\,16\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.\)

D. \(a\in (12;\,\,14\text{ }\!\!]\!\!\text{ }.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263416

Phương pháp giải

Đưa về khảo sát hàm một biến và biện luận để bất phương trình đúng với mọi x

Giải chi tiết

Ta có \({{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}\Leftrightarrow f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}.\).

Xét \(f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}\) trên \(\mathbb{R},\) có \({f}'\left( x \right)={{3}^{x}}.\ln 3+{{a}^{x}}.\ln a-{{6}^{x}}.\ln 6-{{9}^{x}}.\ln 9.\)

Để \(f\left( x \right)\ge 0;\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)\(\Leftrightarrow \)\(\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=0=f\left( 0 \right).\) Hay \({f}'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow \,\,\ln a=\ln \frac{6\,\,\times \,\,9}{3}\Rightarrow a=18.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.