Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp (O) H là trực tâm tam giác, L là giao điểm thứ 2 của AH

Câu hỏi số 264111:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp (O) H là trực tâm tam giác, L là giao điểm thứ 2 của AH với (O). Lấy F bất kì trên cung nhỏ LC (F không trùng với L hoặc C). Lấy K sao cho đường thẳng AC là trung trực của FK.

a) Chứng minh rằng: Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn.

b) HK cắt AC tại I, đường thẳng AF cắt HC tại G. Chứng minh hai đường thẳng AO và GI vuông góc với nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264111

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AHCK có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh \(IG//PD//Ax\) (với Ax là tiếp tuyến của (O) tại A.

Giải chi tiết

a) Gọi BD, CP lần lượt là đường cao của tam giác ABC.

AC là trung trực của FK nên AC là trục đối xứng của FK.

Ta có ngay: \(\widehat {AKC} = \widehat {AFC} = \widehat {ABC}\)

Gọi E là giao điểm của AL và BC ta có tứ giác BEHP là tứ giác nội tiếp

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {PHE} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {180^0} - \widehat {PHE} = {180^0} - \widehat {AHC}\\ \Rightarrow \widehat {AKC} = {180^0} - \widehat {AHC} \Rightarrow \widehat {AKC} + \widehat {AHC} = {180^0}\end{array}\)

Do đó AHCK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Do AHCK là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {IAK} = \widehat {CAK} = \widehat {CHK} = \widehat {GHI}\)

Mà \(\widehat {IAK} = \widehat {IAG}\) (tính đối xứng) nên \(\widehat {IAG} = \widehat {IHG}\)

Do đó tứ giác IAHG là tứ giác nội tiếp, suy ra: \(\widehat {IGC} = \widehat {HAD}\) (cùng bù với \(\widehat {IGH}\))

Mặt khác: \(\widehat {HDA} = \widehat {HPA} = {90^0}\) (gt) nên tứ giác HPDA là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {HAD} = \widehat {HPD} \Rightarrow \widehat {IGC} = \widehat {CPD}\)

Mà hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị \( \Rightarrow IG//PD.\)

Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) \( \Rightarrow \widehat {BAx} = \widehat {ACB}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có \(\widehat {BDC} = \widehat {BPC} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \) tứ giác BPDC là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {APD} \Rightarrow \widehat {PAx} = \widehat {ADP}\). Mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow Ax//PD\).

\(\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot OA \Rightarrow PD \bot OA\\PD//IG \Rightarrow IG \bot OA\end{array} \right.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link