Cho \(N\left( {0;0;c} \right);\,\,M\left( {a;3;0} \right);\,\,{S_{\Delta OMN}} = 5\) và \(\Delta OMN\) cân tại O.

Câu hỏi số 264494:

Vận dụng

Cho \(N\left( {0;0;c} \right);\,\,M\left( {a;3;0} \right);\,\,{S_{\Delta OMN}} = 5\) và \(\Delta OMN\) cân tại O. Tính \(2{c^2} + {a^2}\).

A. 31

B. 21

C. 12

D. 11

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264494

Phương pháp giải

\({S_{\Delta OMN}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right]} \right|\) , \(\Delta OMN\) cân tại O \( \Rightarrow OI \bot MN\) với I là trung điểm của MN.

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {OM} = \left( {a;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {ON} = \left( {0;0;c} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {3c; - ac;0} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OMN}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {9{c^2} + {a^2}{c^2}} = 5 \Rightarrow 9{c^2} + {a^2}{c^2} = 100\,\,\,\left( * \right)\).

Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{c}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{c}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {MN} = \left( { - a; - 3;c} \right)\)

\( \Rightarrow OI \bot MN \Rightarrow - \dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{9}{2} + \dfrac{{{c^2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} + 9 = 0 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + 9\).

Thay \({c^2} = {a^2} + 9\) vào (*) ta có \(9{a^2} + 81 + {a^4} + 9{a^2} = 100 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow {c^2} = 10\)

Vậy \(2{c^2} + {a^2} = 21\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.