Cho các biểu thức: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{-1}{-{{x}^{2}}+\sqrt{x}};\ \

Câu hỏi số 264625:

Vận dụng

Cho các biểu thức: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{-1}{-{{x}^{2}}+\sqrt{x}};\ \ B={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025\) với \(x>0,\ \ x\ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức \(T=B-2{{A}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. a) \(A=x-1\)

b) \(x=12\).

B. a) \(A=x-1\)

b) \(x=2\).

C. a) \(A=x+1\)

b) \(x=2\).

D. a) \(A=2(x-1)\)

b) \(x=2\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264625

Phương pháp giải

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Lấy kết quả rút gọn biểu thức A ở câu trên sau đó thế vào biểu thức T để tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x>0,\ \ x\ne 1.\)

\(\begin{align} & A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{-1}{-{{x}^{2}}+\sqrt{x}} \\ & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}.\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right) \\ & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}.\sqrt{x}\left( x\sqrt{x}-1 \right) \\ & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}.\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right) \\ & \ \ \ =\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)=x-1. \\ \end{align}\)

b) Ta có: \(T=B-2{{A}^{2}}\)

\(\begin{align} & ={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025-2{{\left( x-1 \right)}^{2}} \\ & ={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025-2{{x}^{2}}+4x-2 \\ & ={{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-4x+2023 \\ & ={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16+{{x}^{2}}-4x+4+2003 \\ & ={{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+2023. \\ \end{align}\)

Vì \({{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}\ge 0,\ \ {{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow T\ge 2003.\)

Dấu “=” xảy ra

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 2
\end{array} \right.\\
x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Vậy với \({{T}_{\min }}=2003\Leftrightarrow x=2\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link