Cho các biểu thức: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{-1}{-{{x}^{2}}+\sqrt{x}};\ \

Câu hỏi số 264625:

Vận dụng

Cho các biểu thức: \(A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{-1}{-{{x}^{2}}+\sqrt{x}};\ \ B={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025\) với \(x>0,\ \ x\ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức \(T=B-2{{A}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. a) \(A=x-1\)

b) \(x=12\).

B. a) \(A=x-1\)

b) \(x=2\).

C. a) \(A=x+1\)

b) \(x=2\).

D. a) \(A=2(x-1)\)

b) \(x=2\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264625

Phương pháp giải

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Lấy kết quả rút gọn biểu thức A ở câu trên sau đó thế vào biểu thức T để tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x>0,\ \ x\ne 1.\)

\(\begin{align} & A=\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\frac{-1}{-{{x}^{2}}+\sqrt{x}} \\ & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}.\left( {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right) \\ & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}.\sqrt{x}\left( x\sqrt{x}-1 \right) \\ & \ \ \ =\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}.\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right) \\ & \ \ \ =\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)=x-1. \\ \end{align}\)

b) Ta có: \(T=B-2{{A}^{2}}\)

\(\begin{align} & ={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025-2{{\left( x-1 \right)}^{2}} \\ & ={{x}^{4}}-5{{x}^{2}}-8x+2025-2{{x}^{2}}+4x-2 \\ & ={{x}^{4}}-7{{x}^{2}}-4x+2023 \\ & ={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+16+{{x}^{2}}-4x+4+2003 \\ & ={{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+2023. \\ \end{align}\)

Vì \({{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}\ge 0,\ \ {{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow T\ge 2003.\)

Dấu “=” xảy ra

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = - 2
\end{array} \right.\\
x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2.\)

Vậy với \({{T}_{\min }}=2003\Leftrightarrow x=2\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link