a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}\) và \(y=x-m\) cắt nhau tại hai điểm

Câu hỏi số 264626:

Vận dụng

a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}\) và \(y=x-m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x}_{1}};\ {{y}_{1}} \right),\ \ B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}} \right)\) sao cho \({{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{8}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{8}}=162.\)

b) Tìm các giá trị nguyên của x để \(M={{x}^{4}}+{{\left( x+1 \right)}^{3}}-2{{x}^{2}}-2x\) là số chính phương.

A. a) \(m=-\frac{1}{2}\)

b) \(x=0;\,\,x=-1;\,\,x=3\)

B. a) \(m=-\frac{3}{2}\)

b) \(x=0;\,\,x=-1;\,\,x=3\)

C. a) \(m=-\frac{1}{2}\)

b) \(x=0;\,\,x=2;\,\,x=3\)

D. a) \(m=-\frac{5}{2}\)

b) \(x=0;\,\,x=-1;\,\,x=5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264626

Phương pháp giải

a) Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) pt hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

+) Sử dụng hệ thức Vi-ét để làm tiếp bài toán.

b) Áp dụng tính chất của số chính phương để làm bài toán.

Giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({{x}^{2}}=x-m\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+m=0.\ \ \ \left( * \right)\)

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 1-4m>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}.\)

Gọi \({{x}_{1}},\ {{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình (*). Khi đó ta có: \({{y}_{1}}={{x}_{1}}-m,\ \ {{y}_{2}}={{x}_{2}}-m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m \\ \end{align} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{8}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{8}}=162\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^8} + {\left( {{x_1} - m - {x_2} + m} \right)^8} = 162\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^8} = 81 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^8}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} - {x_2} = \sqrt 3 \\
{x_1} - {x_2} = - \sqrt 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = {x_2} + \sqrt 3 \\
{x_1} = {x_2} - \sqrt 3
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) Với \({{x}_{1}}={{x}_{2}}+\sqrt{3}\Rightarrow 2{{x}_{2}}+\sqrt{3}=1\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}.\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\ \ \left( tm \right).\)

+) Với \({{x}_{1}}={{x}_{2}}-\sqrt{3}\Rightarrow 2{{x}_{2}}-\sqrt{3}=1\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.\frac{1+\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\ \ \left( tm \right).\)
Vậy \(m=-\frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

b) Ta có: \(M={{x}^{4}}+{{\left( x+1 \right)}^{3}}-2{{x}^{2}}-2x\)

\(\begin{align} & M={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1-2{{x}^{2}}-2x \\ & M={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1. \\ & \Rightarrow 4M=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+4. \\ \end{align}\)

+) Ta có: \({{\left( 2{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}\le 4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}+{{\left( x+2 \right)}^{2}}=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+4=4M.\)

Ta thấy dấu “=” không thể xảy ra nên \({{\left( 2{{x}^{2}}+x \right)}^{2}}<4M.\ \ \ \left( 1 \right)\)

+) Với \(x=0\Rightarrow 4M=4\Leftrightarrow M=1\Rightarrow M\) là số chính phương.

Với \(x=1\Rightarrow 4M=20\Leftrightarrow M=5\Rightarrow M\) không là số chính phương.

Với \(x=2\Rightarrow 4M=124\Leftrightarrow M=31\Rightarrow M\) không là số chính phương.

Với \(x\ne \left\{ 0;\ 1;\ 2 \right\}\) ta có

\(\left[ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 2\\
x - 1 \le - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \le - 1
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 4 \Rightarrow 4 - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\)

Có : \(4M=4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x+4\)

\(\begin{align} & =4{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+2x+1-{{x}^{2}}+2x+3 \\ & ={{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+4 \\ & \Rightarrow 4M\le {{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align}\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow {{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}<4M\le {{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\) . Mà \(x\in Z\Rightarrow 4M={{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 2\\
x - 1 = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = - 1
\end{array} \right.\)

Vậy có 3 giá trị nguyên của x thỏa mãn yêu cầu bài toán là : \(x=0;\,\,x=-1;\,\,x=3\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link