Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m-2=0\) (với m là tham số). 1) Chứng minh phương trình

Câu hỏi số 265252:

Vận dụng

Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m-2=0\) (với m là tham số).

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

A. \(m=0\) ; \(m=3\)

B. \(m=0\) ; \(m=2\)

C. \(m=1\) ; \(m=2\)

D. \(m=5\) ; \(m=2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265252

Phương pháp giải

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\Leftrightarrow \Delta >0\ \ \forall m.\)

+) Từ phương trình đã cho, cô lập m, đưa phương trình về dạng \(m=A\left( x \right)+\frac{C}{B\left( x \right)}\) , với C là hằng số, tìm điều kiện để C chia hết cho B(x), tức là B(x) là ước của C.

Giải chi tiết

1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta có: \(\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4\left( m-2 \right)={{m}^{2}}+2m+1-4m+8={{m}^{2}}-2m+1+8={{\left( m-1 \right)}^{2}}+8.\)

Vì \({{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0\ \ \forall m\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+8>0\ \forall m.\)

Hay \(\Delta >0\ \forall m\Rightarrow \) phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

2) Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Đề bài yêu cầu tìm \(m\in Z\) để \(x\in Z.\) Ta đưa bài toán về dạng tìm x nguyên để m nguyên.

Ta có: \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m-2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx-x+m-2=0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = m\left( {x - 1} \right)\\
\Leftrightarrow m = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right) - 2}}{{x - 1}}\;\;\left( {x \ne 1} \right)\\
\Leftrightarrow m = x - \frac{2}{{x - 1}}.\\
\Rightarrow m \in Z \Leftrightarrow \left( {x - \frac{2}{{x - 1}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \frac{2}{{x - 1}} \in Z\,\,\left( {Do\,\,x \in Z} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 2 \right).
\end{array}\)

Mà \(U\left( 2 \right)=\left\{ -2;\ -1;\ 1;\ 2 \right\}.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = - 2\\
x - 1 = - 1\\
x - 1 = 1\\
x - 1 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 0\\
x = 2\\
x = 3
\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2\\
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\;\;\left( {tm} \right)\\
m = 2\;\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Vậy với \(m=0\) và \(m=2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link