Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right),\) \(M\) là trung điểm của cạnh

Câu hỏi số 265254:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right),\) \(M\) là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính \(MC\) cắt \(BC\) tại \(N.\) Đường thẳng \(BM\) cắt đường tròn đường kính \(MC\) tại \(D.\)

1. Chứng minh tứ giác \(BADC\) nội tiếp.

2. Chứng minh \(DB\) là phân giác của góc \(ADN.\)

3. \(BA\) và \(CD\) kéo dài cắt nhau tại \(P.\) Chứng minh ba điểm \(P,\,\, M, \,N\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265254

Phương pháp giải

1. Chứng minh tứ giác BADC có hai đỉnh A và D cùng nhìn BC dưới các góc bằng nhau.

2. Chứng minh hai góc ADB và BDN cùng bằng góc ACB.

3. Chứng minh M là trực tâm của tam giác PBC \(\Rightarrow PM\bot BC\)

Chứng minh \(MN\bot BC\), từ đó suy ra P, M, N thẳng hàng.

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.

Ta có \(\widehat{MDC}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) \(\Rightarrow \widehat{BDC}={{90}^{0}}\).(Do B, M, D thẳng hàng)

Có \(\widehat{BAC}={{90}^{0}}\) (do giả thiết tam giác ABC vuông tại A)

Xét tứ giác BADC có \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}={{90}^{0}}\Rightarrow \) Hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới góc 90⁰ \(\Rightarrow \) Tứ giác BADC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

2. Chứng minh DB là phân giác của góc ADN.

Do BADC là tứ giác nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có \(\widehat{ACB}=\widehat{MCN}=\widehat{MDN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN của đường tròn đường kính MC).

\(\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{MDN}=\widehat{BDN}\Rightarrow BD\) là tia phân giác của góc ADN.

3. BA và CD kéo dài cắt nhau tại P. Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Ta có \(\widehat{BDC}={{90}^{0}}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow BD\bot DC\Rightarrow BD\bot PC\)

Tam giác ABC vuông tại A \(\Rightarrow AC\bot AB\Rightarrow AC\bot PB\)

Xét tam giác PBC có \(BD\bot PC;\,\,AC\bot PB;\,\,AC\cap BD=M\Rightarrow M\) là trực tâm tam giác PBC.

\(\Rightarrow PM\bot BC\).

Lại có \(\widehat{MNC}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) \(\Rightarrow MN\bot NC\Rightarrow MN\bot BC\)

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng BC ta kẻ được \(PM\bot BC\) và \(MN\bot BC\)

\(\Rightarrow PM\equiv MN\) hay ba điểm P, M, N thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link