Tìm phần ảo của số phức z thoả mãn \(\left( {z - 1} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\) là số

Câu hỏi số 266402:

Vận dụng cao

Tìm phần ảo của số phức z thoả mãn \(\left( {z - 1} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\) là số thực và mô đun của z nhỏ nhất?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(\frac{2}{5}\)

D. \(\frac{4}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266402

Phương pháp giải

Gọi \(w = \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\).

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

Thay vào giả thiết, tìm điều kiện để \({\mathop{\rm Im}\nolimits} w = 0\). Rút ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w.

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức \(w \Rightarrow \left| w \right| = OM\,\)với \(M \in d \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của O trên d. Tìm M, từ đó suy ra w thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết

Gọi \(w = \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\).

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right) \Rightarrow \overline z = x - yi\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z + 2i} \right) = \left( {x + yi - 1} \right)\left( {x - yi + 2i} \right) = \left[ {\left( {x - 1} \right) + yi} \right]\left[ {x - \left( {y - 2} \right)i} \right]\\ = \left( {x - 1} \right)x - \left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right)i + xyi + y\left( {y - 2} \right)\\ = {x^2} - x + {y^2} - 2y + \left( { - xy + 2x + y - 2 + xy} \right)i\\ = {x^2} - x + {y^2} - 2y + \left( {2x + y - 2} \right)i\end{array}\)

Để \(w = \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\) là số thực \( \Rightarrow 2x + y - 2 = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {2 - 2x} \right)}^2}} = \sqrt {5{x^2} - 8x + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{x^2} - \dfrac{8}{5}} \right)x + 4} = \sqrt {5\left( {{x^2} - 2.\dfrac{4}{5}x + \dfrac{{16}}{{25}}} \right) - \dfrac{{16}}{5} + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {x - \dfrac{4}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{36}}{5}} \ge \dfrac{6}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left| z \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{5}\)\( \Rightarrow y = \dfrac{2}{5}\).

Vậy \(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.