Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm OA và dây cung MN vuông góc với OA tại C.

Câu hỏi số 266560:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm OA và dây cung MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM (K khác B, M), H là giao điểm của AK và MN.

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(AH.AK = A{M^2}\)

c) Xác định vị trí của điểm K để \(KM + KN + KB\) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266560

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác BCHK có tổng hai góc đối bằng 180⁰

b) Chứng minh tam giác AMH đồng dạng với tam giác AMK.

c) Lấy điểm E thuộc KN sao cho KE = KM.

Chứng minh KM = KE; KB = KN \( \Rightarrow KM + KN + KB = 2KN\).

Tìm GTLN và GTNN của KN.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {AKB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác BCHK có \(\widehat {BCH} + \widehat {BKH} = {90^0} + {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Ta có \(OA \bot MN\) tại C \( \Rightarrow C\) là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \Delta AMN\) có AC là đường cao đồng thời là trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A \Rightarrow AM = AN \Rightarrow \) sđ cung AM = sđ cung AN.

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AKM}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tam giác AMN và AKM có:

\(\widehat {MAK}\) chung;

\(\widehat {AMN} = \widehat {AKM}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\(\Rightarrow \Delta AMH\backsim \Delta AKM\,\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{AK}=\frac{AH}{AM}\Rightarrow A{{M}^{2}}=AH.AK\).

c) Lấy điểm E thuộc KN sao cho \(KM = KE\).

Xét tam giác vuông AMB có: \(A{M^2} = AC.AB = \frac{R}{2}.2R = {R^2} \Rightarrow AM = R\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \sin \widehat {ABM} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {ABM} = {30^0}\)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = {60^0}\) (tính đối xứng).

\( \Rightarrow \widehat {MKE} = \widehat {MKN} = \widehat {MBN} = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN).

\( \Rightarrow \Delta AKE\) đều \( \Rightarrow KM = KE = ME\).

Ta có AB là trung trực của MN \( \Rightarrow BM = BN\)

Lại có \(\widehat {MBN} = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta BMN\) đều \( \Rightarrow MB = MN = BN\) và \(\widehat {BMN} = {60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {KME} = {60^0}\\ \Rightarrow \widehat {BMN} - \widehat {BME} = \widehat {KME} - \widehat {BME}\\ \Leftrightarrow \widehat {EMN} = \widehat {KMB}\end{array}\)

Xét tam giác KMB và tam giác EMN có:

KM = EM;

MB = MN;

\(\widehat {EMN} = \widehat {KMB}\,\,\left( {cmt} \right);\)

\( \Rightarrow \Delta KMB = \Delta EMN\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow KB = EN\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow S = KM + KN + KB = KE + \left( {KE + EN} \right) + EN = 2\left( {KE + EN} \right) = 2KN\)

KN lớn nhất khi và chỉ khi KN là đường kính của đường tròn O, khi đó KN = 2R và \({S_{\max }} = 4R\)

KN nhỏ nhất khi và chỉ khi \(K \equiv M \Rightarrow KN = MN \Rightarrow {S_{\min }} = 2MN\)

Xét tam giác vuông AMB cos \(M{C^2} = AC.BC = \frac{R}{2}.\frac{{3R}}{2} = \frac{{3{R^2}}}{4} \Rightarrow MC = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MN = R\sqrt 3 \Rightarrow {S_{\min }} = 2R\sqrt 3 \)

Vậy \({\left( {KM + KN + KB} \right)_{\max }} = 4R\) và \({\left( {KM + KN + KB} \right)_{\min }} = 2R\sqrt 3 \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link