Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần

Câu hỏi số 268173:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính diện tích tam giác AMN theo a?

A. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{24}\)

B. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}\)

C. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{8}\)

D. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268173

Phương pháp giải

+) Gọi E là trung điểm của MN, tính AE.

+) Tính \({{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}AE.MN\)

Giải chi tiết

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)\)

Gọi E là trung điểm của MN, ta chứng minh được E là trung điểm của SD.

\(SD\bot MN\) (do tam giác SMN cân tại S).

Dễ dàng chứng minh được tam giác AMN cân tại A \(\Rightarrow AE\bot MN\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left( AMN \right)\bot \left( SBC \right) \\ & \left( AMN \right)\cap \left( SBC \right)=MN \\ & \left( SBC \right)\supset SD\bot MN \\\end{align} \right.\Rightarrow SD\bot \left( AMN \right)\Rightarrow SD\bot AE\)

\(\Rightarrow \Delta SAD\) cân tại A \(\Rightarrow SA=AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Ta có \(AO=\frac{2}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{3};\,\,OD=\frac{1}{3}AD=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Xét tam giác vuông SAO có : \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}\)

Xét tam giác vuông SOD có: \(SD=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow ED=\frac{a\sqrt{2}}{4}\)

Xét tam giác vuông AED có: \(AE=\sqrt{A{{D}^{2}}-E{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)

Có \(MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\Rightarrow {{S}_{AMN}}=\frac{1}{2}AE.MN=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{10}}{4}.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.