Cho số phức z thay đổi thỏa mãn \(\left| z-i \right|+\left| z+i \right|=6\) Gọi S là đường cong

Câu hỏi số 268176:

Vận dụng cao

Cho số phức z thay đổi thỏa mãn \(\left| z-i \right|+\left| z+i \right|=6\) Gọi S là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức \(\left( z-i \right)\left( i+1 \right)\) khi z thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong S.

A. \(12\pi \)

B. \(12\pi \sqrt{2}\)

C. \(9\pi \sqrt{2}\)

D. \(9\pi \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268176

Phương pháp giải

+) Đặt \(\left( z-i \right)\left( i+1 \right)=x+yi\Rightarrow \) Tìm \(z-i\) và \(z+i\) theo x, y.

+) Gọi các điểm biểu diễn, đưa về bài toán hình học, tìm quỹ tích điểm \(M\left( x;y \right)\) và tính diện tích hình phẳng đó.

Giải chi tiết

Đặt

\(\left( {z - i} \right)\left( {i + 1} \right) = x + yi \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
z - i = \frac{{x + yi}}{{i + 1}}\\
z + i = \frac{{x + yi}}{{i + 1}} + 2i = \frac{{x + yi - 2 + 2i}}{{i + 1}} = \frac{{x - 2 + \left( {y + 2} \right)i}}{{i + 1}}
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{align} & \left| z-i \right|=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}} \\ & \left| z+i \right|=\frac{\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}} \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=6\,\,\left( * \right)\)

Gọi \(M\left( x;y \right);\,\,I\left( 2;-2 \right)\) từ (*) ta có \(\frac{MO}{\sqrt{2}}+\frac{MI}{\sqrt{2}}=6\Leftrightarrow MO+MI=6\sqrt{2}\)

Do đó quỹ tích điểm M là elip nhận O; I là hai tiêu điểm và trục lớn \(2a=6\sqrt{2}\Rightarrow a=3\sqrt{2}\)

\(2c=OI=2\sqrt{2}\Rightarrow c=\sqrt{2}\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=4\)

Vậy diện tích elip là \(S=\pi ab=\pi .4.3\sqrt{2}=12\pi \sqrt{2}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.