Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức \(P = x{\left( {1 - 2x} \right)^n} + {x^2}{\left(

Câu hỏi số 268783:

Vận dụng

Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức \(P = x{\left( {1 - 2x} \right)^n} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{2n}}\) thành đa thức, biết \(A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5\).

A. 432

B. 3320

C. -5432

D. 4674

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268783

Phương pháp giải

+) Tìm n.

+) Sử dụng khai triển của nhị thức Newton.

Giải chi tiết

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,A_n^2 - C_{n + 1}^{n - 1} = 5\,\,\left( {n \in N;\,\,n \ge 2} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} = 5\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2} = 5\\ \Leftrightarrow 2{n^2} - 2n - {n^2} - n = 10\\ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow n = 5\,\,\left( {tm} \right)\\P = x{\left( {1 - 2x} \right)^n} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{2n}}\\P = x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\\P = x\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( { - 2} \right)}^k}{x^k}} + {x^2}\sum\limits_{l = 0}^{10} {C_{10}^l{3^l}.{x^l}} \end{array}\]

\( \Rightarrow \) Hệ số của x⁵ là \(C_5^4{\left( { - 2} \right)^4} + C_{10}^3{.3^3} = 3320\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.