Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
b) Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt (O) tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp được một đường tròn.
Quảng cáo
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp được trong một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Ta có \(\Delta AFH\) vuông tại \(F\left( do\,\,CF\bot AB \right)\Rightarrow A,\ F,\ H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\) (1)
\(\Delta AEH\) vuông tại \(E\left( do\,\,BE\bot AC \right)\Rightarrow A,\ E,\ H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\) (2)
Từ (1) và (2) ta có 4 điểm \(A,\ E,\ F,\ H\) cùng thuộc đường tròn tâm là trung điểm của \(AH\) và bán kính \(R=\frac{AH}{2}.\)
Hay tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm của \(AH\) và bán kính \(R=\frac{AH}{2}.\)
b) Gọi M là giao điểm của EF và BC, đường thẳng MA cắt (O) tại điểm thứ hai là I khác A. Chứng minh tứ giác AEFI nội tiếp được một đường tròn.
Xét tứ giác \(BCEF\) ta có: \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\) là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn đoạn \(BC\)
\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle MFB = \angle ECM\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
Xét \(\Delta MBF\) và \(\Delta MEC\) ta có:
\(\begin{array}{l} & \angle FBM = \angle ECM\,\,\left( {cmt} \right)\\ & \angle M\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta MBF \sim \Delta MEC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MC}} \Leftrightarrow MB.MC = ME.MF\end{array}\)
Lại có \(AIBC\) là tứ giác nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\)
\( \Rightarrow \angle MIB = \angle ACB\) (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
Xét \(\Delta MBI\) và \(\Delta MAC\) ta có:
\(\begin{array}{l} & \angle MIB = \angle MCA\,\,\left( {cmt} \right)\\ & \angle M\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta MBI \sim \Delta MAC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MI}}{{MC}} \Leftrightarrow MB.MC = MI.MA\\ \Rightarrow MI.MA = ME.MF\left( { = MB.MC} \right).\\ \Rightarrow \frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MA}}\end{array}\)
Xét \(\Delta MIF\) và \(\Delta MEA\) ta có:
\(\begin{array}{l} & \angle M\,\,\,chung\\ & \frac{{MI}}{{ME}} = \frac{{MF}}{{MA}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MIF \sim \Delta MEA\,\,\left( {c - g - c} \right)\,\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle MIF = \angle MEA\) (hai góc tương ứng)
\( \Rightarrow AIFE\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
