Cho \(\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11} \) với a,b,c là các số

Câu hỏi số 270451:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 11} \) với a,b,c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a - b = - c\)

B. \(a + b = c\)

C. \(a + b = 3c\)

D. \(a - b = - 3c\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270451

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân \(I = \int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }}} \) từ đó suy ra \(a,\,b,\,c\) và mối quan hệ của chúng.

Giải chi tiết

Tính \(I = \int\limits_{16}^{55} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 9} }}} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 9} \Rightarrow {t^2} = x + 9 \Rightarrow dx = 2tdt\) và \(x = {t^2} - 9\)

Đổi cận: Với \(x = 16 \Rightarrow t = \sqrt {16 + 9} = 5\) ;với \(x = 55 \Rightarrow t = \sqrt {55 + 9} = 8\)

Suy ra \(I = \int\limits_5^8 {\frac{{2tdt}}{{\left( {{t^2} - 9} \right)t}}} \) \( = 2\int\limits_5^8 {\frac{1}{{\left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right)}}dt} = \frac{1}{3}\int\limits_5^8 {\left( {\frac{1}{{t - 3}} - \frac{1}{{t + 3}}} \right)dt} \)

\( = \frac{1}{3}\left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_5^8 = \frac{1}{3}\left( {\ln 5 - \ln 2 - \ln 11 + \ln 8} \right)\) \( = \frac{1}{3}\left( { - \ln 11 + \ln 5 + 2\ln 2} \right)\)

\( = \frac{2}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 5 - \frac{1}{3}\ln 11\) suy ra \(a = \frac{2}{3};b = \frac{1}{3};c = - \frac{1}{3} \Rightarrow a - b = - c.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.