Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

Câu hỏi số 270454:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

A. \(\frac{{\sqrt 6 a}}{2}\)

B. \(\frac{{2a}}{3}\)

C. \(\frac{a}{2}\)

D. \(\frac{a}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270454

Phương pháp giải

+ Dựng hình bình hành \(ACBE\) khi đó \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

+ Ta xác định hình chiếu \(H\) của \(A\) lên \(\left( {SBE} \right)\), khi đó \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AH\)

+ Tính \(AH\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

Dựng hình bình hành \(ACBE \Rightarrow AC//BE \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right)\) nên \(d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

+ Trong \(\left( {ABE} \right)\) kẻ \(AK \bot BE\) , lại có \(BE \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) nên \(BE \bot \left( {SAK} \right)\)

+ Trong \(\left( {SAK} \right)\) kẻ \(AH \bot SK\) tại \(H\) . Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SK\\AH \bot BE\,\left( {do\,BE \bot \left( {SAK} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBE} \right)\) tại \(H\)

Suy ra \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right) = AH.\)

+ Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AB \bot AD \Rightarrow AB \bot AE\) . Xét tam giác vuông \(AEB\) có

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\) mà \(AE = BC = 2a\, \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\)

+ Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AK.\) Xét tam giác vuông \(SAK\) có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{5}{{4{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\) \( \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{3}\)

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \frac{{2a}}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.