Xét các số phức z thỏa mãn \(\left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) là số thuần

Câu hỏi số 270455:

Vận dụng

Xét các số phức z thỏa mãn \(\left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

A. \(1\)

B. \(\frac{5}{4}\)

C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270455

Phương pháp giải

+ Gọi \(z = x + yi.\,\) Biến đổi \(\left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) về dạng số phức.

+ Cho phần thực của số phức thu được bẳng \(0\) từ đó suy ra quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(z\)là một đường tròn dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) và bán kính đường tròn là \(R.\)

Giải chi tiết

+ Gọi \(z = x + yi.\,\) Ta có \(\left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right)\)\( = \left( {x - yi + i} \right)\left( {x + yi + 2} \right)\) \( = \left( {x - \left( {y - 1} \right)i} \right) \left( {x + 2 + yi} \right)\)

\( = x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y - 1} \right) + i\left[ {xy - \left( {y - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right]\)

Vì \(\left( {\overline z + i} \right)\left( {z + 2} \right)\) là số thuần ảo nên phần thực \(x\left( {x + 2} \right) + y\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + {y^2} - y = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}\)

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức \(z\) là một đường tròn bán kính bằng \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.