Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (M, N khác A) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) ?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Nhận xét \(\frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 6\) là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại \(A\)
- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 6\) tìm nghiệm và thử lại, kiểm tra số giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là \(3\) thì thỏa mãn.
Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), ta có: \({y_1} - {y_2} = 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \Rightarrow \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 6\) chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\)
Suy ra \(f'\left( {{x_0}} \right) = x_0^3 - 7{x_0} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = - 1\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)
Ta được các tiếp tuyến \(y = 6x - \frac{{117}}{4},y = 6x + \frac{{11}}{4},y = 6x + 2\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đường thẳng \(y = 6x + m\) là
\(\frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2} = 6x + m \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2} - 6x\,\,\,\left( * \right)\)
Xét \(g\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2} - 6x\) có \(g'\left( x \right) = {x^3} - 7x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Để phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm thì \(m = \frac{{11}}{4}\) và \(m = 2\) ứng với \({x_0} = - 1\) và \({x_0} = - 2\)
Vậy có hai điểm \(A\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
