Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao

Câu hỏi số 270466:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (M, N khác A) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\) ?

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(0\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270466

Phương pháp giải

- Nhận xét \(\frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 6\) là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại \(A\)

- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 6\) tìm nghiệm và thử lại, kiểm tra số giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là \(3\) thì thỏa mãn.

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), ta có: \({y_1} - {y_2} = 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \Rightarrow \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 6\) chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\)

Suy ra \(f'\left( {{x_0}} \right) = x_0^3 - 7{x_0} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = - 1\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)

Ta được các tiếp tuyến \(y = 6x - \frac{{117}}{4},y = 6x + \frac{{11}}{4},y = 6x + 2\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đường thẳng \(y = 6x + m\) là

\(\frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2} = 6x + m \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2} - 6x\,\,\,\left( * \right)\)

Xét \(g\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - \frac{7}{2}{x^2} - 6x\) có \(g'\left( x \right) = {x^3} - 7x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm thì \(m = \frac{{11}}{4}\) và \(m = 2\) ứng với \({x_0} = - 1\) và \({x_0} = - 2\)

Vậy có hai điểm \(A\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.