Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 1} \right){x^5} - \left(

Câu hỏi số 271883:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 1} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0?\)

A. 3

B. 2

C. Vô số

D. 1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:271883

Phương pháp giải

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) có nghiệm \(x=0\) và \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm \(x = 0\)

Giải chi tiết

Ta có \(\begin{array}{l}y' = 8{x^7} + 5\left( {m - 1} \right){x^4} - \left( {{m^2} - 1} \right)4{x^3} = {x^3}\left[ {8{x^4} + 5x\left( {m - 1} \right) - 4\left( {{m^2} - 1} \right)} \right] = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 8{x^4} + 5x\left( {m - 1} \right) - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(x = 0\) là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) khi qua nghiệm \(x = 0\)

*) TH1: \(x=0\) là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m = \pm 1\)

Với \(m=1\) thì \(g\left( x \right) = 0\) có nghiệm \(x = 0\) bội \(4\) theo kết quả ở trên thì \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là nghiệm bội của nên \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn \(m{\rm{ }} = {\rm{ 1}}{\rm{.}}\)

Với \(m = - 1\) thì \(g\left( x \right)\) có nghiệm \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) và 1 nghiệm dương, lúc này lập bảng biến thiên thu được \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) là điểm cực đại của hàm số. Loại \(m{\rm{ }} = - {\rm{ 1}}.\)

*) TH2: \(x=0\) không là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m\ne \pm 1\). Ta có \(g\left( 0 \right)=-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)\).

\(y'={{x}^{3}}g\left( x \right)\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) qua nghiệm \(x = 0\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{align}& \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)>0 \\& \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)>0 \\\end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\) \(\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1<0\Leftrightarrow -1<m<1\)

Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ 0 \right\}\)

Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left\{ {0;1} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.