Cho \(\int\limits_{1}^{e}{\left( 2+x\ln x \right)dx=a{{e}^{2}}+be+c}\) với \(a,\ b,\ c\) là các số hữu tỉ.

Câu hỏi số 272363:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_{1}^{e}{\left( 2+x\ln x \right)dx=a{{e}^{2}}+be+c}\) với \(a,\ b,\ c\) là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a+b=-c\)

B. \(a+b=c\)

C. \(a-b=c\)

D. \(a-b=-c\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_{1}^{e}{\left( 2+x\ln x \right)dx}=\int\limits_{1}^{e}{2dx}+\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}=\left. 2x \right|_{1}^{e}+{{I}_{1}}=2e-2+{{I}_{1}}.\)

Tính: \({{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx.}\)

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right..\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{I}_{1}}=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\frac{1}{x}.\frac{{{x}^{2}}}{2}dx}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\frac{{{e}^{2}}}{2}\left. -\frac{1}{2}\frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\frac{{{e}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{{e}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}. \\ & \Rightarrow I=2e-2+\frac{{{e}^{2}}}{4}+\frac{1}{4}=\frac{{{e}^{2}}}{4}+2e-\frac{7}{4}. \\ & \Rightarrow a=\frac{1}{4},\ b=2,\ c=-\frac{7}{4} \\ & \Rightarrow a-b=c. \\\end{align}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:272363

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.