Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và

Câu hỏi số 272367:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO=\frac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng:

A. \(\frac{17\sqrt{13}}{65}\)

B. \(\frac{6\sqrt{85}}{85}\)

C. \(\frac{7\sqrt{85}}{85}\)

D. \(\frac{6\sqrt{13}}{65}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272367

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để làm bài toán.

Giải chi tiết

Gọi hình lập phương có cạnh là \(a.\)

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:

\(\begin{array}{l}
B'\left( {0;\;0;\;0} \right),\;\;A'\left( {a;\;0;\;0} \right),\;C'\left( {0;\;a;\;0} \right),\;D'\left( {a;\;a;\;0} \right),\\
A\left( {a;\;0;\;a} \right),\;I\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;0} \right),\;B\left( {0;\;0;\;a} \right),\;O\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;\frac{a}{2}} \right).\\
\Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {0;\;0;\;\frac{a}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OI} = \left( {0;\;0;\;\frac{a}{6}} \right).\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} - {x_O} = 0\\
{y_M} - {y_O} = 0\\
{z_M} - {z_O} = \frac{a}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{a}{2}\\
{y_M} = \frac{a}{2}\\
{z_M} = \frac{{2a}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;\frac{{2a}}{3}} \right).
\end{array}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( \frac{a}{2};\ -\frac{a}{2};\ \frac{a}{3} \right),\ \overrightarrow{MB}=\left( -\frac{a}{2};\ -\frac{a}{2};\ \frac{a}{3} \right),\ \overrightarrow{MC'}=\left( -\frac{a}{2};\ \frac{a}{2};-\frac{2a}{3} \right),\ \overrightarrow{MD'}=\left( \frac{a}{2};\ \frac{a}{2};-\frac{2a}{3} \right). \\ & \Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}=\left[ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{MB} \right]=\left( 0;-\frac{{{a}^{2}}}{3};-\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)=-{{a}^{2}}\left( 0;\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{2} \right). \\ & {{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}}=\left[ \overrightarrow{MC'},\ \overrightarrow{MD'} \right]=\left( 0;-\frac{2{{a}^{2}}}{3};-\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)=-{{a}^{2}}\left( 0;\ \frac{2}{3};\ \frac{1}{2} \right). \\\end{align}\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( MAB \right)\) và \(\left( M'C'D' \right).\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \cos \alpha =\frac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}} \right|}=\frac{\left| \frac{1}{3}.\frac{2}{3}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{4}}.\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{4}}}=\frac{17\sqrt{13}}{65}. \\ & \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{6\sqrt{13}}{65}. \\\end{align}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.