Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có tâm \(O.\) Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(M\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(OI\) sao cho \(MO=\frac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi mặt phẳng \(\left( MC'D' \right)\) và \(\left( MAB \right)\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để làm bài toán.
Gọi hình lập phương có cạnh là \(a.\)
Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:
\(\begin{array}{l}
B'\left( {0;\;0;\;0} \right),\;\;A'\left( {a;\;0;\;0} \right),\;C'\left( {0;\;a;\;0} \right),\;D'\left( {a;\;a;\;0} \right),\\
A\left( {a;\;0;\;a} \right),\;I\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;0} \right),\;B\left( {0;\;0;\;a} \right),\;O\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;\frac{a}{2}} \right).\\
\Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {0;\;0;\;\frac{a}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {OI} = \left( {0;\;0;\;\frac{a}{6}} \right).\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} - {x_O} = 0\\
{y_M} - {y_O} = 0\\
{z_M} - {z_O} = \frac{a}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{a}{2}\\
{y_M} = \frac{a}{2}\\
{z_M} = \frac{{2a}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{a}{2};\;\frac{a}{2};\;\frac{{2a}}{3}} \right).
\end{array}\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( \frac{a}{2};\ -\frac{a}{2};\ \frac{a}{3} \right),\ \overrightarrow{MB}=\left( -\frac{a}{2};\ -\frac{a}{2};\ \frac{a}{3} \right),\ \overrightarrow{MC'}=\left( -\frac{a}{2};\ \frac{a}{2};-\frac{2a}{3} \right),\ \overrightarrow{MD'}=\left( \frac{a}{2};\ \frac{a}{2};-\frac{2a}{3} \right). \\ & \Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}=\left[ \overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{MB} \right]=\left( 0;-\frac{{{a}^{2}}}{3};-\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)=-{{a}^{2}}\left( 0;\ \frac{1}{3};\ \frac{1}{2} \right). \\ & {{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}}=\left[ \overrightarrow{MC'},\ \overrightarrow{MD'} \right]=\left( 0;-\frac{2{{a}^{2}}}{3};-\frac{{{a}^{2}}}{2} \right)=-{{a}^{2}}\left( 0;\ \frac{2}{3};\ \frac{1}{2} \right). \\\end{align}\)
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( MAB \right)\) và \(\left( M'C'D' \right).\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \cos \alpha =\frac{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}} \right|}{\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MAB \right)}} \right|.\left| {{\overrightarrow{n}}_{\left( MC'D' \right)}} \right|}=\frac{\left| \frac{1}{3}.\frac{2}{3}+\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \right|}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{4}}.\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{4}}}=\frac{17\sqrt{13}}{65}. \\ & \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{6\sqrt{13}}{65}. \\\end{align}\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com