Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+4t \\& z=1

Câu hỏi số 272368:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+4t \\& z=1 \\-\end{align} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( -2;\ 1;\ 2 \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là:

A. \(\left\{ \begin{align} & x=1+27t \\ & y=1+t \\ & z=1+t \\\end{align} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=11-10t \\\end{align} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=-11-10t \\\end{align} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=1+17t \\ & z=1+10t \\\end{align} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272368

Phương pháp giải

+) Tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \(\Delta .\)

+) Lấy điểm \(B\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)\in d.\)

+) Tìm tọa độ điểm \(C\in \Delta \) sao cho \(IB=IC.\)

+) Khi đó đường phân giác của \(d\) và \(\Delta \) là đường thẳng có VTCP \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\) và đi qua \(A.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\) và \(d\) đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

\(\Rightarrow d\cap \Delta =A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\ \ \left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=1+t \\ & z=1+2t \\\end{align} \right..\)

Chọn \(B\left( 4;\ 5;\ 1 \right)\) là một điểm thuộc đường thẳng \(d.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\Rightarrow AB=5.\)

Lấy điểm \(C\left( 1-2t;\ 1+t;\ 1+2t \right)\in \Delta \) sao cho \(AB=AC.\)

\(\Rightarrow {{\left( -2t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\frac{25}{9}\Leftrightarrow t=\pm \frac{5}{3}.\)

+) Với \(t=\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( -\frac{7}{3};\ \frac{8}{3};\ \frac{13}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( -\frac{10}{3};\ \frac{5}{3};\ \frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{-\frac{10}{3}}{5.5}=-\frac{2}{15}<0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta \right)\) là góc tù.

+) Với \(t=-\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( \frac{13}{3};-\frac{2}{3};-\frac{7}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( \frac{10}{3};-\frac{5}{3};-\frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{\frac{10}{3}}{5.5}=\frac{2}{15}>0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta \right)\) là góc nhọn nên ta cần lập phương trình đường phân giác trong TH này.

Ta có VTCP của đường phân giác của góc tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) là: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left( \frac{19}{3};\ \frac{7}{3};\ -\frac{10}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 19;\ 7;\ -10 \right).\)

Khi đó phương trình đường phân giác \(d'\) đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 19;\ 7;-10 \right)\) là: \(\left\{ \begin{align} & x=1+19t \\ & y=1+7t \\ & z=1-10t \\\end{align} \right..\)

Với \(t=-1\) ta có: \(I\left( -18;-6;\ 11 \right)\in d'.\)

Vậy đường thẳng \(d':\ \left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=11-10t \\\end{align} \right..\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.