Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+4t \\& z=1

Câu hỏi số 272368:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=1+4t \\& z=1 \\-\end{align} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( -2;\ 1;\ 2 \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là:

A. \(\left\{ \begin{align} & x=1+27t \\ & y=1+t \\ & z=1+t \\\end{align} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=11-10t \\\end{align} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=-11-10t \\\end{align} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{align} & x=1-t \\ & y=1+17t \\ & z=1+10t \\\end{align} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

+) Tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \(\Delta .\)

+) Lấy điểm \(B\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};\ {{z}_{0}} \right)\in d.\)

+) Tìm tọa độ điểm \(C\in \Delta \) sao cho \(IB=IC.\)

+) Khi đó đường phân giác của \(d\) và \(\Delta \) là đường thẳng có VTCP \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\) và đi qua \(A.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\) và \(d\) đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

\(\Rightarrow d\cap \Delta =A\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\ \ \left\{ \begin{align} & x=1-2t \\ & y=1+t \\ & z=1+2t \\\end{align} \right..\)

Chọn \(B\left( 4;\ 5;\ 1 \right)\) là một điểm thuộc đường thẳng \(d.\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\Rightarrow AB=5.\)

Lấy điểm \(C\left( 1-2t;\ 1+t;\ 1+2t \right)\in \Delta \) sao cho \(AB=AC.\)

\(\Rightarrow {{\left( -2t \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{t}^{2}}=\frac{25}{9}\Leftrightarrow t=\pm \frac{5}{3}.\)

+) Với \(t=\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( -\frac{7}{3};\ \frac{8}{3};\ \frac{13}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( -\frac{10}{3};\ \frac{5}{3};\ \frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{-\frac{10}{3}}{5.5}=-\frac{2}{15}<0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta \right)\) là góc tù.

+) Với \(t=-\frac{5}{3}\Rightarrow C\left( \frac{13}{3};-\frac{2}{3};-\frac{7}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( \frac{10}{3};-\frac{5}{3};-\frac{10}{3} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( d,\ \Delta \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{\frac{10}{3}}{5.5}=\frac{2}{15}>0\Rightarrow \angle \left( d;\ \Delta \right)\) là góc nhọn nên ta cần lập phương trình đường phân giác trong TH này.

Ta có VTCP của đường phân giác của góc tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) là: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left( \frac{19}{3};\ \frac{7}{3};\ -\frac{10}{3} \right)=\frac{1}{3}\left( 19;\ 7;\ -10 \right).\)

Khi đó phương trình đường phân giác \(d'\) đi qua \(A\left( 1;\ 1;\ 1 \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left( 19;\ 7;-10 \right)\) là: \(\left\{ \begin{align} & x=1+19t \\ & y=1+7t \\ & z=1-10t \\\end{align} \right..\)

Với \(t=-1\) ta có: \(I\left( -18;-6;\ 11 \right)\in d'.\)

Vậy đường thẳng \(d':\ \left\{ \begin{align} & x=-18+19t \\ & y=-6+7t \\ & z=11-10t \\\end{align} \right..\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:272368

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.