Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BB'\) bằng \(\sqrt{5},\)
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BB'\) bằng \(\sqrt{5},\) khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng \(1\) và \(2,\) hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( A'B'C' \right)\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \(A'M=\sqrt{5}.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Thể tích khối lăng trụ: \({{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{d}}.h.\)
Qua \(M\) dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(AA'\) cắt các cạnh \(AA',\ BB',\ CC'\) lần lượt tại \(N,\ E,\ F.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AA'\bot NE\Rightarrow NE=d\left( E,\ AA' \right)=d\left( N,\ BB' \right)=d\left( A,\ BB' \right)=1. \\ & AA'\bot NF\Rightarrow NF=d\left( F,\ AA; \right)=d\left( N,\ CC' \right)=d\left( A,\ CC' \right)=2 \\ & AA'\bot \left( P \right)\Rightarrow CC'\bot \left( P \right)\Rightarrow CC'\bot EF\Rightarrow EF=d\left( E,\ CC' \right)=d\left( F,\ BB' \right)=d\left( C,\ BB' \right)=\sqrt{5}. \\ \end{align} \right.\)
Có: \(N{{E}^{2}}+N{{F}^{2}}=EF{{'}^{2}}\Rightarrow \Delta NEF\) vuông tại \(N.\) (định lý Pi-ta-go đảo)
\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}EF=\frac{\sqrt{5}}{2}.\)Mà: \(\frac{ME}{MF}=\frac{MB'}{MC'}=1\Rightarrow ME=MF\) (định lý Ta-lét)\(\Rightarrow M\) là trung điểm của \(EF.\)
Xét tam giác \(AA'M\) vuông tại \(M\) ta có:
\(\frac{1}{M{{N}^{2}}}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A'{{M}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{4}{5}=\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{5}\Leftrightarrow AM=\frac{\sqrt{15}}{3}.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left( P \right)\bot AA' \\ & \left( A'B'C' \right)\bot AM \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( P \right),\ \left( A'B'C' \right) \right)=\angle \left( AA',\ AM \right)=\angle A'MA.\)
\(\Rightarrow \cos A'MA=\frac{AM}{AA'}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{3}}{\sqrt{5+\frac{5}{3}}}=\frac{1}{2}.\)
Ta thấy \(\Delta NEF\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta A'B'C'\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(\begin{align} & \Rightarrow {{S}_{A'B'C'}}=\frac{{{S}_{NEF}}}{\cos A'MA}=\frac{\frac{1}{2}NE.NF}{\frac{1}{2}}=1.2=2. \\ & \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}={{S}_{A'B'C'}}.AM=2.\frac{\sqrt{15}}{3}=\frac{2\sqrt{15}}{3}. \\ \end{align}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
